Основні властивості визначників

Насамперед, відзначимо, що det А = det А ', тобто визначник матриці не змінює свого значення при взаємній заміні її рядків і стовпців. Тому усі властивості визначника, сформульовані для стовпців, справедливі і для рядків, і навпаки. Нижче приводяться основні властивості визначників.

1. При перестановці двох стовпців визначник змінює знак (властивість антисиметрії).

2. Визначник дорівнює нулю, якщо всі елементи якого-небудь стовпця дорівнюють нулю або якщо один зі стовпців є лінійною комбінацією будь-яких його інших стовпців (зокрема, визначник, у якого хоча б два стовпці однакові, дорівнює нулю).

3. Множення всіх елементів якого-небудь стовпця на скаляр l рівнозначно множенню визначника на l (загальний множник елементів чи рядка стовпця можна винести за знак визначника).

4. Множення матриці n-го порядку на скаляр l відповідає множенню її визначника на , тобто .

5. Значення визначника не зміниться, якщо до якого-небудь стовпця додати інший стовпець, помножений на скаляр l.

6. Якщо два визначники однакових порядків розрізняються між собою тільки елементами i -гo стовпця, то їхня сума дорівнює визначнику, елементи i-го стовпця якого дорівнюють сумам відповідних елементів i-x стовпців вихідних визначників, а інші елементи ті ж, що у вихідних (властивість лінійності).