Поняття визначника (детермінанта) виникло у зв'язку з рішенням систем лінійних рівнянь і завдяки цьому ця задача одержала компактне вираження, наприклад, у вигляді правила Крамера (2.1.9.). Представлення таких систем у матричній формі 
природним образом зв'язує квадратну матрицю 
з її визначником 
(чи 
). Загальне вираження для визначника матриці n-го порядку звичайно дається у вигляді:
У правій частині стоїть сума добутків виду 
Кожен такий добуток за визначенням повинен містити елементи матриці 
, розташовані в різних рядках і різних стовпцях. Це означає, що серед усіх перших індексів, як і серед усіх других індексів не повинне бути однакових. Якщо розташувати перші індекси в порядку їхнього зростання, як це зроблено вище, то сукупність других індексів утворить деяку перестановку 
множини чисел від 1 до n. Інакше кажучи, кожен добуток під знаком суми визначається підстановкою n-го ступеня:
Число всіх підстановок n-го ступеня дорівнює n!, тому можна утворити таку ж кількість добутків 
з елементів даної матриці (при нульових елементах деякі з них дорівнюють нулю). Визначник дорівнює сумі всіх таких добутків, узятих зі знаком (—1)e, де e — число інверсій перестановки 
. Замість множника (—1)e можна писати знак підстановки sgns, що позитивний для парної і негативний для непарної підстановки s.
Порядок визначника збігається з порядком його матриці. Елементи 
матриці А називають також елементами визначника , а добутку (—1)e 
— членами визначника.
Для визначників другого і третього порядку одержуємо вираз, що збігається з добре відомими схемами обчислення цих визначників:
Як видно, індекси стовпців усіх членів визначника третього порядку визначаються перестановками (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1), (1,3,2), (2,1,3), число інверсій яких дорівнює відповідно 0, 2, 2, 3, 1, 1.
Загальне вираження визначника n-го порядку є зручним для дослідження і доказу його властивостей, але для обчислення визначників використовуються інші більш практичні співвідношення і методи.
