Транспонування матриці

Перетворення матриці A, що складається в заміні рядків стовпцями (чи стовпців рядками) при збереженні їхньої нумерації, називається транспонуванням. Отримана в результаті такого перетворення матриця називається транспонованої до матриці A і чи позначається :

A=	a₁₁	a₁₂	…	a_1n	; =	a₁₁	a₁₂	…	a_m1
a₂₁	a₂₂	…	a_2n	a₂₁	a₂₂	…	a_m2
…	…	…	…	…	…	…	…
a_m1	a_m2	_…	a_mn	a_1n	a_2n	…	a_nm

Довільна - матриця при транспонуванні стає -матрицею, а елемент Aij займає ij-клітку, тобто a_ij = .

Якщо матриця (квадратна) збігається зі своєю транспонованою, тобто , то вона називається симетричною і її елементи зв'язані співвідношенням (симетрія щодо головної діагоналі). Матриця, для якої A=-A^t, називається кососиметричною, і її елементи зв'язані співвідношенням . Вона, як і симетрична матриця, завжди квадратна, але діагональні елементи дорівнюють нулю, тобто . Нижче приведені приклади симетричної і кососиметричної матриць:

	0,5		-5			0,1
0,5				-2	-3
		0,1		-0,1		-7
-5			-4

Ясно, що не всі елементи таких матриць можуть бути обрані довільно. Можна переконатися, що з елементів для симетричної матриці незалежними можуть бути тільки , а для кососиметричної - елементів.

Комплексно-сполучена і транспонована матриця називається сполученою з А и позначається через А*. Матриця, рівна своїй сполученій, тобто А = = А*, називається ермітовой. Якщо A= , то А — косоермітова матриця.

Легко показати, що транспонування добутку АВ дорівнює добутку транспонованих матриць, узятих у зворотному порядку: . Двічі транспонована матриця дорівнює початковій, тобто .

2.1.7. МАТРИЧНИЙ ЗАПИС СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ.

Спочатку матриці були введені для спрощення запису систем лінійних рівнянь, що обумовило і визначення основних матричних операцій. Система лінійних рівнянь:

записується однією матричною рівністю

y₁	=	a₁₁	a₁₂	…	a_1n	x₁
y₂	a₂₁	a₂₂	…	a_2n	x₂
…	…	…	…	…	…
y_m	a_m1	a_m2	…	a_mn	x_n

Дійсно, перемноживши в правій частині рівності (m x n) - матрицю на стовпцеву матрицю, одержимо

	=	a₁₁x₁+ a₁₂x₂+…….+ a_1nx_n
	a₂₁x₁+ a₂₂x₂+…….+ a_2nx_n
…	............................
	a_m1x₁+ a_m2x₂+…….+ a_mnx_n

З рівності матриць-стовпців випливають рівності для відповідних елементів, що збігаються з вихідною системою рівнянь. Якщо позначити

y =	y₁	; A =	a₁₁	a₁₂	…	a_1n	; x =	x₁
y₂	a₂₁	a₂₂	…	a_2n	x₂
…	…	…	…	…	…
y_m	a_m1	a_m2	…	a_mn	x_n

то матрична рівність запишеться ще коротше

Таке представлення системи лінійних рівнянь виявилося можливим завдяки правилу множення матриць, що щонайкраще підходить для цієї мети. Однак історично справа обстояла саме навпаки: правила дій над матрицями визначалися, насамперед, виходячи зі зручності представлень систем лінійних рівнянь.

2.1.8. ЛІНІЙНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ.

Систему рівнянь, записану на початку попереднього пункту, можна розглядати як лінійне перетворення сукупності величин x₁,x₂,..x_n у сукупність y₁,y₂,..,y_m. Це перетворення цілком визначається коефіцієнтами . мовою матриць лінійне перетворення означає перетворення стовпця x у стовпець , що визначається матрицею перетворення А.

Нехай величини x₁,x₂,..x_n виходять з деякої сукупності величин z₁,z₂...,z_r, за допомогою лінійного перетворення де x і z — стовпці відповідних величин; В — матриця їхнього перетворення. Тоді формальною підстановкою x у перше матричне рівняння одержуємо

де С = АВ — матриця перетворення величин z в. До цього ж результату можна прийти шляхом підстановки значень x₁,x₂,..x_n із другої системи рівнянь у першу з обліком уведеного раніше правила множення прямокутних матриць.

2.1.9. ЗВОРОТНЯ МАТРИЦЯ.

У звичайній алгебрі два числа, добуток яких дорівнює одиниці, називають взаємно зворотними. Число, зворотне числу , позначається через і по визначенню . Аналогічно в матричній алгебрі дві квадратні матриці, добуток яких дорівнює одиничній матриці, тобто , називають взаємно зворотними (A зворотня A^-1). Однак далі цього аналогія не проходить.

Вираження , де і — числа, можна представити як частка від розподілу на , але для матриць таке представлення не має змісту й у загальному випадку Тому замість операції розподілу B на A розрізняють ліве приватне і праве часткове ,що зводяться до множення ліворуч чи праворуч на зворотну матрицю

Спосіб звертання матриці найпростіше установити, розглядаючи рішення системи n лінійних рівнянь з n невідомими:

У матричній формі ця система рівнянь запишеться як , де квадратна матриця n-го порядку, називана матрицею системи; x і q cтовпцеві матриці невідомих змінних і вільних членів:

A =	a₁₁	a₁₂	…	a_1n	; x =	x₁	; q =	q₁
a₂₁	a₂₂	…	a_2n	x₂	q₂
…	…	…	…	…	…
a_m1	a_m2	…	a_mn	x_n	q_n

Матричне рівняння урівнюється множенням обох його частин ліворуч на зворотну матрицю , тобто A^-1Ax = A^-1q, у результаті чого одержуємо .

Відповідно до правила Крамера невідомі x_k (k=1,2,…,n) визначаються співвідношенням:

де — визначник системи рівнянь у — алгебраїчні доповнення.

Визначник (являє собою числову функцію, що обчислюється за визначеними правилами на підставі квадратної таблиці, що складає з коефіцієнтів системи рівнянь

D =	а₁₁	а₁₂	...	а_1n
а₂₁	а₂₂	...	а_2n
...	...	...	...
а_n1	а_n2	...	а_nn

Табличне представлення визначника D за формою збігається з матрицею системи рівнянь, тобто складається з тих же елементів і в тім же порядку, що і матриця А. У таких випадках його називають визначником матриці А и записують D = det.

Алгебраїчне доповнення D_sk обчислюється як визначник матриці, отриманої видаленням з матриці A s-го рядка і k-го стовпця, причому цей визначник збільшується ще на . Величину D_sk називають також алгебраїчним доповненням елемента а _sk матриці A. Часто визначник матриці A позначається через | A |, а алгебраїчне через А _sk.

Записавши для всіх елементів стовпцевої матриці х вираження за правилами Крамера, одержимо рішення системи рівнянь у виді:

x₁	=			D₁₁	D₂₁	...	D_n1	q₁
x₂		D₁₂	D₂₂	...	D_n2		q₂
...	...............	...	...	...	...		...
x_n		D_1n	D_2n	...	D_nn		q_n

відкіля, порівнюючи з , маємо

З отриманого вираження випливає правило визначення зворотної матриці: 1) елементи a_ij даної матриці А n-го порядку заміняються їх алгебраїчними доповненнями D_ij; 2) матриця алгебраїчних доповнень транспонується, у результаті чого одержуємо приєднану чи взаємну матрицю до А (вона позначається через Adj); 3) обчислюється визначник D матриці А и приєднана матриця Adj збільшується на величину, зворотню цьому визначнику. Зворотня матриця існує для матриці А за умови, що det¹0. Такі матриці називаються неособливими, на відміну від особливих (випороджених), визначник яких дорівнює нулю. Нижче обчислення зворотної матриці ілюструється прикладом:

			-28	-38	-12
-3		®		-2	-13	®
-5	-1			-14

detA=-94 (1)

	-28
®	-38	-2	-14	®	=
	-12	-13

		(2)

(3)

Матриця, зворотня добутку двох матриць, дорівнює переставленому добутку матриць, зворотніх вихідним, тобто Дійсно, помноживши обидві частини цієї рівності на , приходимо до тотожності , тому що , де Е – одинична матриця n-го порядку.