Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


“ранспонуванн€ матриц≥




ѕеретворенн€ матриц≥ A, що складаЇтьс€ в зам≥н≥ р€дк≥в стовпц€ми (чи стовпц≥в р€дками) при збереженн≥ њхньоњ нумерац≥њ, називаЇтьс€ транспонуванн€м. ќтримана в результат≥ такого перетворенн€ матриц€ називаЇтьс€ транспонованоњ до матриц≥ A ≥ чи позначаЇтьс€ :

 

A= a11 a12 Е a1n ; = a11 a12 Е   am1  
a21 a22 Е a2n a21 a22 Е   am2
Е Е Е Е Е Е Е   Е
am1 am2 Е amn a1n a2n Е   anm

 

ƒов≥льна - матриц€ при транспонуванн≥ стаЇ -матрицею, а елемент Aij займаЇ ij-кл≥тку, тобто aij = .

якщо матриц€ (квадратна) зб≥гаЇтьс€ з≥ своЇю транспонованою, тобто , то вона називаЇтьс€ симетричною ≥ њњ елементи зв'€зан≥ сп≥вв≥дношенн€м (симетр≥€ щодо головноњ д≥агонал≥). ћатриц€, дл€ €коњ A=-At, називаЇтьс€ кососиметричною, ≥ њњ елементи зв'€зан≥ сп≥вв≥дношенн€м . ¬она, €к ≥ симетрична матриц€, завжди квадратна, але д≥агональн≥ елементи дор≥внюють нулю, тобто . Ќижче приведен≥ приклади симетричноњ ≥ кососиметричноњ матриць:

  0,5   -5       0,1  
0,5       -2   -3  
    0,1   -0,1     -7
-5     -4        

 

ясно, що не вс≥ елементи таких матриць можуть бути обран≥ дов≥льно. ћожна переконатис€, що з елемент≥в дл€ симетричноњ матриц≥ незалежними можуть бути т≥льки , а дл€ кососиметричноњ - елемент≥в.

 омплексно-сполучена ≥ транспонована матриц€ називаЇтьс€ сполученою з ј и позначаЇтьс€ через ј*. ћатриц€, р≥вна своњй сполучен≥й, тобто ј = = ј*, називаЇтьс€ ерм≥товой. якщо A= , то ј Ч косоерм≥това матриц€.

Ћегко показати, що транспонуванн€ добутку ј¬ дор≥внюЇ добутку транспонованих матриць, уз€тих у зворотному пор€дку: . ƒв≥ч≥ транспонована матриц€ дор≥внюЇ початков≥й, тобто .

2.1.7. ћј“–»„Ќ»… «јѕ»— —»—“≈ћ» Ћ≤Ќ≤…Ќ»’ –≤¬ЌяЌ№.

—початку матриц≥ були введен≥ дл€ спрощенн€ запису систем л≥н≥йних р≥вн€нь, що обумовило ≥ визначенн€ основних матричних операц≥й. —истема л≥н≥йних р≥вн€нь:

 

 

записуЇтьс€ одн≥Їю матричною р≥вн≥стю

 

y1 = a11   a12 Е a1n   x1
y2 a21   a22 Е a2n x2
Е Е Е Е Е Е
ym am1 am2 Е amn xn

 

ƒ≥йсно, перемноживши в прав≥й частин≥ р≥вност≥ (m x n) - матрицю на стовпцеву матрицю, одержимо

 

= a11x1+ a12x2+ЕЕ.+ a1nxn
a21x1+ a22x2+ЕЕ.+ a2nxn
Е ............................
am1x1+ am2x2+ЕЕ.+ amnxn

 

« р≥вност≥ матриць-стовпц≥в випливають р≥вност≥ дл€ в≥дпов≥дних елемент≥в, що зб≥гаютьс€ з вих≥дною системою р≥вн€нь. якщо позначити

 

y = y1 ; A = a11   a12 Е a1n ; x = x1
y2 a21   a22 Е a2n x2
Е Е Е Е Е Е
ym am1 am2 Е amn xn

 

то матрична р≥вн≥сть запишетьс€ ще коротше

“аке представленн€ системи л≥н≥йних р≥вн€нь ви€вилос€ можливим завд€ки правилу множенн€ матриць, що щонайкраще п≥дходить дл€ ц≥Їњ мети. ќднак ≥сторично справа обсто€ла саме навпаки: правила д≥й над матриц€ми визначалис€, насамперед, виход€чи з≥ зручност≥ представлень систем л≥н≥йних р≥вн€нь.

2.1.8. Ћ≤Ќ≤…Ќ≤ ѕ≈–≈“¬ќ–≈ЌЌя.

—истему р≥вн€нь, записану на початку попереднього пункту, можна розгл€дати €к л≥н≥йне перетворенн€ сукупност≥ величин x1,x2,..xn у сукупн≥сть y1,y2,..,ym. ÷е перетворенн€ ц≥лком визначаЇтьс€ коеф≥ц≥Їнтами . мовою матриць л≥н≥йне перетворенн€ означаЇ перетворенн€ стовпц€ x у стовпець , що визначаЇтьс€ матрицею перетворенн€ ј.

Ќехай величини x1,x2,..xn виход€ть з де€коњ сукупност≥ величин z1,z2...,zr, за допомогою л≥н≥йного перетворенн€ де xz Ч стовпц≥ в≥дпов≥дних величин; ¬ Ч матриц€ њхнього перетворенн€. “од≥ формальною п≥дстановкою x у перше матричне р≥вн€нн€ одержуЇмо

де — = ј¬ Ч матриц€ перетворенн€ величин z в. ƒо цього ж результату можна прийти шл€хом п≥дстановки значень x1,x2,..xn ≥з другоњ системи р≥вн€нь у першу з обл≥ком уведеного ран≥ше правила множенн€ пр€мокутних матриць.

2.1.9. «¬ќ–ќ“Ќя ћј“–»÷я.

” звичайн≥й алгебр≥ два числа, добуток €ких дор≥внюЇ одиниц≥, називають взаЇмно зворотними. „исло, зворотне числу , позначаЇтьс€ через ≥ по визначенню . јналог≥чно в матричн≥й алгебр≥ дв≥ квадратн≥ матриц≥, добуток €ких дор≥внюЇ одиничн≥й матриц≥, тобто , називають взаЇмно зворотними (A зворотн€ A-1). ќднак дал≥ цього аналог≥€ не проходить.

¬ираженн€ , де Ч числа, можна представити €к частка в≥д розпод≥лу на , але дл€ матриць таке представленн€ не маЇ зм≥сту й у загальному випадку “ому зам≥сть операц≥њ розпод≥лу B на A розр≥зн€ють л≥ве приватне ≥ праве часткове ,що звод€тьс€ до множенн€ л≥воруч чи праворуч на зворотну матрицю

—пос≥б звертанн€ матриц≥ найпрост≥ше установити, розгл€даючи р≥шенн€ системи n л≥н≥йних р≥вн€нь з n нев≥домими:

 

” матричн≥й форм≥ ц€ система р≥вн€нь запишетьс€ €к , де квадратна матриц€ n-го пор€дку, називана матрицею системи; x ≥ q cтовпцев≥ матриц≥ нев≥домих зм≥нних ≥ в≥льних член≥в:

 

A = a11   a12 Е a1n ; x = x1 ; q = q1
a21   a22 Е a2n x2 q2
Е Е Е Е Е Е
am1 am2 Е amn xn qn

 

ћатричне р≥вн€нн€ ур≥внюЇтьс€ множенн€м обох його частин л≥воруч на зворотну матрицю , тобто A-1Ax = A-1q, у результат≥ чого одержуЇмо .

¬≥дпов≥дно до правила  рамера нев≥дом≥ xk (k=1,2,Е,n) визначаютьс€ сп≥вв≥дношенн€м:

де Ч визначник системи р≥вн€нь у Ч алгебрањчн≥ доповненн€.

¬изначник (€вл€Ї собою числову функц≥ю, що обчислюЇтьс€ за визначеними правилами на п≥дстав≥ квадратноњ таблиц≥, що складаЇ з коеф≥ц≥Їнт≥в системи р≥вн€нь

 

D = а 11 а 12 ... а 1n
а 21 а 22 ... а 2n
... ... ... ...
а n1 а n2 ... а nn

 

“абличне представленн€ визначника D за формою зб≥гаЇтьс€ з матрицею системи р≥вн€нь, тобто складаЇтьс€ з тих же елемент≥в ≥ в т≥м же пор€дку, що ≥ матриц€ ј. ” таких випадках його називають визначником матриц≥ ј и записують D = det.

јлгебрањчне доповненн€ Dsk обчислюЇтьс€ €к визначник матриц≥, отриманоњ видаленн€м з матриц≥ A s-го р€дка ≥ k-го стовпц€, причому цей визначник зб≥льшуЇтьс€ ще на . ¬еличину Dsk називають також алгебрањчним доповненн€м елемента а sk матриц≥ A. „асто визначник матриц≥ A позначаЇтьс€ через | A |, а алгебрањчне через ј sk .

«аписавши дл€ вс≥х елемент≥в стовпцевоњ матриц≥ х вираженн€ за правилами  рамера, одержимо р≥шенн€ системи р≥вн€нь у вид≥:

 

x 1 =     D11 D21 ... Dn1   q1
x 2 D12 D22 ... Dn2   q2
... ............... ... ... ... ...   ...
x n   D1n D2n ... Dnn   qn

 

в≥дк≥л€, пор≥внюючи з , маЇмо

 
 

 


« отриманого вираженн€ випливаЇ правило визначенн€ зворотноњ матриц≥: 1) елементи aij даноњ матриц≥ ј n-го пор€дку зам≥н€ютьс€ њх алгебрањчними доповненн€ми Dij; 2) матриц€ алгебрањчних доповнень транспонуЇтьс€, у результат≥ чого одержуЇмо приЇднану чи взаЇмну матрицю до ј (вона позначаЇтьс€ через Adj); 3) обчислюЇтьс€ визначник D матриц≥ ј и приЇднана матриц€ Adj зб≥льшуЇтьс€ на величину, зворотню цьому визначнику. «воротн€ матриц€ ≥снуЇ дл€ матриц≥ ј за умови, що det¹0. “ак≥ матриц≥ називаютьс€ неособливими, на в≥дм≥ну в≥д особливих (випороджених), визначник €ких дор≥внюЇ нулю. Ќижче обчисленн€ зворотноњ матриц≥ ≥люструЇтьс€ прикладом:

 

        -28 -38 -12  
-3     Ѓ   -2 -13 Ѓ
-5   -1     -14    

detA=-94 (1)

  -28        
Ѓ -38 -2 -14 Ѓ =
  -12 -13    
   
    (2)      

(3)

ћатриц€, зворотн€ добутку двох матриць, дор≥внюЇ переставленому добутку матриць, зворотн≥х вих≥дним, тобто ƒ≥йсно, помноживши обидв≥ частини ц≥Їњ р≥вност≥ на , приходимо до тотожност≥ , тому що , де Ц одинична матриц€ n-го пор€дку.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1087 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќеосмысленна€ жизнь не стоит того, чтобы жить. © —ократ
==> читать все изречени€...

516 - | 451 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.019 с.