Області визначення і значень

Множина перших координат х є областю визначення (лівою областю) , а множина других координат — областю значень (правою областю) відношення А. Якщо , то . У таких випадках говорять, що А є відношення від Х к Y. Його називають також відповідністю і позначають . Якщо , то будь-яке відношення хАу є підмножиною множини і називається відношенням у X.

Нехай, наприклад, Х = {2, 3} і Y = {3, 4, 5, 6}. Добуток цих множин = {(2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}. Відношення «бути дільником» є множиною А = {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6)}, відношення = є множиною В = {(3, 3)}, а відношення > є порожня множина Æ. Області визначення і значень відношення А — це відповідно множини і .

Якщо область визначення відношення збігається з деякою множиною X, то говорять, що відношення визначене на X. Подібний випадок має місце в приведеному вище прикладі відношення А «бути дільником». Очевидно, для відношення включення підмножин універсума U областю визначення й областю значень служить множина підмножин P(U) цього універсума.

Заслуговують на увагу три окремі випадки відношень у X:

1) повне (універсальне) відношення , що має місце для кожної пари елементів із Х (наприклад, відношення «працювати в одному відділі» на множині співробітників даного відділу);

2) тотожнє (діагональне) відношення Е, рівносильне х = х (наприклад, рівність на множині дійсних чисел);

3) порожнє відношення, якому не задовольняє жодна пара елементів із Х (наприклад, відношення «бути братом» на множині жінок). Очевидно, для будь-якого відношення А в Х справедливо Æ .

Розглянемо шість основних властивостей відношень. При описі цих властивостей будемо вважати, що х, у і z - будь-які елементи з множини X. Рефлексивність: хAх — істинно; антирефлексивність: хAх — хибно; симетричність: хАу уАх; антисиметричність: хАу й уАх х=у, несиметричність: якщо хАу — істинно, то yАx — хибно; транзитивність: хАу і yАz хАz.

Скориставшись описаними властивостями, розглянемо деякі важливі види відношень.