Прямий добуток множин

Прямим добутком множин Х і Y називається множина, що позначається X´Y і яка складається з усіх тих і тільки тих упорядкованих пар, перша компонента яких належить множині X, а друга належить множині Y. Таким чином, елементами упорядкованої множині є двуелементні кортежі виду (х, у). Формальне визначення

Приклад 1-10. Нехай Х={1, 2}, Y={1, 3, 4}. Тоді X´Y ={(1,1), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4)}. Геометричне представлення цієї множині приведено на мал. 1-9 а.

Приклад 1-11. Нехай Х і Y — відрізки осі. Прямий добуток зобразиться заштрихованим прямокутником, показаним на мал. 1-9, 6. З цього малюнка випливає, що властивості

Мал. 1-9. Геометрична ілюстрація прямого добутку множин.

прямого добутку відрізняються від властивостей звичайного добутку в арифметичному змісті. Зокрема, прямий добуток змінюється при зміні порядку співмножників, тобто

X´Y ¹Y´X.

Операція прямого добутку легко поширюється і на більше число множин. Прямим добутком множин називається множина, що позначається і яка складається з усіх тих і тільки тих кортежів довжини r, перша компонента яких належить , друга і т.д.

Легко бачити, що

X´Y=Æ«C=Æ або Y=Æ,

тому що не існує упорядкованих пар із відсутньою першою або другою компонентою. Аналогічно =Æ тоді і тільки тоді, коли хоча б одна з множин є порожньою множиною.

Окремим випадком операції прямого добутку є поняття ступенів множини. Нехай М — довільна множина Назвемо s- тим ступенем множини М і позначимо через М^s прямий добуток s однакових множин, рівних М:

Це визначення правдиво для s=2, 3,... Його можна розширити на будь-яке ціле невід’ємне s, якщо спеціальними визначеннями покласти

.

Якщо R - множина дійсних чисел, то R²=R´R являє собою дійсну площину, а R^З==R´R´R являє собою тривимірний дійсний простір.