Метод Кутта-Мерсона решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка

Мерсон предложил модификацию метода Рунге-Кутта четвертого порядка, позволяющую оценивать погрешность на каждом шаге и принимать решение об изменении величины шага. Схема Мерсона выглядит следующим образом:

(7.14)

где	K ₁ = h ₃ f (x_m, y_m), h ₃= h /3,
	K ₂ = h ₃ f (x_m + h ₃, y_m + K ₁),
	K ₃ = h f (x_m + h ₃, y_m +(K ₁+ K ₂) / 2),
	K ₄ = K ₁+ h ₃ f (x_m + h/ 2, y_m +0,375(K ₁+ K ₃)),
	K ₅ = h ₃ f (x_m + h, y_m +1,5(K ₄ - K ₃)).

Эта схема требует на каждом шаге вычислять правую часть дифференциального уравнения в пяти точках, но она позволяет на каждом шаге определять погрешность решения R по формуле

R = 0,1(2 K ₄ - 3 K ₃ - K ₅).

(7.15)

Для автоматического изменения шага интегрирования рекомендуется следующий критерий. Если абсолютное значение величины R, вычисленное по формуле (7.15), на (m +1)-м шаге окажется больше допустимой заранее заданной погрешности , т.е. , то шаг h уменьшается вдвое и вычисления по схеме (7.14) повторяются с точки (x_m, y_m). При выполнении условия 32 шаг h можно удвоить начиная с точки (x_m ₊₁, y_m ₊₁).

Следует обратить внимание, что, если по условиям задачи требуется сохранять в памяти ЭВМ все вычисленные точки до конца решения, то, по сравнению с другими методами, здесь необходимо организовывать массив и для абсцисс точек, т.к. шаг изменения по оси OX - переменный.