Одношаговые методы рассмотрим на примере решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка вида
| y' = f (x,y), | (7.2) |
при начальном условии
| y(x0) = y0. | (7.2’) |
С помощью этих методов вычисляют последовательные значения y, соответствующие дискретным значениям независимой переменной x.
Метод Эйлера -это простейший метод решения задачи Коши, позволяющий интегрировать дифференциальные уравнения первого порядка. Его точность невелика, и поэтому на практике им пользуются сравнительно редко. Однако на основе этого метода легче понять алгоритмы других, более эффективных методов.
Итак, решается задача Коши (7.2, 7.2’). Запишем разложение 
для m =0, отбросим в нем члены, содержащие h во второй и более высоких степенях, и получим:
 .
| (7.5) |
Величину 
находим из дифференциального уравнения (7.2), подставив в него начальное условие: 
. Таким образом можно получить приближенное значение зависимой переменной при малом смещении h от начальной точки.
Этот процесс можно продолжить, используя соотношение
| (7.6) |
и делая сколь угодно много шагов. Графически метод Эйлера показан на рис.7.3. Хотя тангенс угла наклона касательной к истинной кривой в исходной точке известен и равен y' (x 0), он изменяется в соответствии с изменением независимой переменной. Поэтому в точке x 0+ h наклон касательной уже не таков, каким он был в точке x 0. Следовательно, при сохранении начального наклона касательной на всем интервале [ x 0 ,x 1] в результаты вносится погрешность. Ошибка метода имеет порядок h 2, а сам метод является методом первого порядка, так как в его вычислительной формуле (7.6) параметр h имеет максимальную степень -1.
Рис.7.3. Геометрическая интерпретация
метода Эйлера
| 
Рис.7.4. Ошибка метода Эйлера
на m -м шаге
|
