Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка
Лекции.Орг

Поиск:


Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка




Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию производной. Используются два способа такой аппроксимации. Первый называется «усовершенствованным» методом Эйлера, второй - «модифицированным» методом Эйлера.

Геометрическая интерпретация усовершенствованного метода приведена на рис.7.6.

Рис.7.6. Усовершенствованный метод Эйлера

Прямая L1 есть касательная к истинной кривой y=y(x) в точке (xm, ym). Ее наклон к оси OX равен углу , для которого

,

или в силу (7.2):

.

Прямая L2 есть касательная к решению уравнения (7.2) в точке , являющейся пересечением L1 c прямой x = xm+1. Наклон L2 равен углу , для которого

.

Прямая проходит через точку , а ее угол наклона равен , для которого

или .

Прямая L параллельна и проходит через точку (xm, ym), а ее пересечение с x = xm+1 как раз и определяет окончательное значение ym+1.

Данное геометрическое построение в аналитическом виде выглядит следующим образом: сначала вычисляется значение функции y(x) в точке xm+1 по методу Эйлера:

, (7.7)

а затем оно используется для вычисления , т.е. приближенного значения производной в конце интервала (xm,xm+1):

.

Вычислив среднее между этим значением производной и ее значением f(xm, ym) в начале интервала, найдем более точное значение ym+1:

.   (7.8)

Формула (7.8) представляет собой вычислительный алгоритм усовершенствованного метода Эйлера.





Дата добавления: 2015-02-12; просмотров: 623 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:



© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.002 с.