Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию производной. Используются два способа такой аппроксимации. Первый называется «усовершенствованным» методом Эйлера, второй - «модифицированным» методом Эйлера.
Геометрическая интерпретация усовершенствованного метода приведена на рис.7.6.
Рис.7.6. Усовершенствованный метод Эйлера
Прямая L 1 есть касательная к истинной кривой y = y (x) в точке (x m, y m). Ее наклон к оси OX равен углу 
, для которого
,
или в силу (7.2):
.
Прямая L 2 есть касательная к решению уравнения (7.2) в точке 
, являющейся пересечением L 1 c прямой x = xm +1. Наклон L 2 равен углу 
, для которого
.
Прямая 
проходит через точку 
, а ее угол наклона равен 
, для которого
или 
.
Прямая L параллельна и проходит через точку (xm, ym), а ее пересечение с x = xm +1 как раз и определяет окончательное значение ym +1.
Данное геометрическое построение в аналитическом виде выглядит следующим образом: сначала вычисляется значение 
функции y(x) в точке xm +1 по методу Эйлера:
 ,
| (7.7) |
а затем оно используется для вычисления 
, т.е. приближенного значения производной в конце интервала (x m, x m+1):
.
Вычислив среднее между этим значением производной и ее значением f (xm, ym) в начале интервала, найдем более точное значение ym +1:
 .
| (7.8) |
Формула (7.8) представляет собой вычислительный алгоритм усовершенствованного метода Эйлера.
