Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка

Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию производной. Используются два способа такой аппроксимации. Первый называется «усовершенствованным» методом Эйлера, второй - «модифицированным» методом Эйлера.

Геометрическая интерпретация усовершенствованного метода приведена на рис.7.6.

Рис.7.6. Усовершенствованный метод Эйлера

Прямая L ₁ есть касательная к истинной кривой y = y (x) в точке (x _m, y _m). Ее наклон к оси OX равен углу , для которого

,

или в силу (7.2):

.

Прямая L ₂ есть касательная к решению уравнения (7.2) в точке , являющейся пересечением L ₁ c прямой x = x_{m +1}. Наклон L ₂ равен углу , для которого

.

Прямая проходит через точку , а ее угол наклона равен , для которого

или .

Прямая L параллельна и проходит через точку (x_m, y_m), а ее пересечение с x = x_{m +1} как раз и определяет окончательное значение y_{m +1}.

Данное геометрическое построение в аналитическом виде выглядит следующим образом: сначала вычисляется значение функции y(x) в точке x_{m +1} по методу Эйлера:

,

(7.7)

а затем оно используется для вычисления , т.е. приближенного значения производной в конце интервала (x _m, x _m+1):

.

Вычислив среднее между этим значением производной и ее значением f (x_m, y_m) в начале интервала, найдем более точное значение y_{m +1}:

.

(7.8)

Формула (7.8) представляет собой вычислительный алгоритм усовершенствованного метода Эйлера.