Методы прямоугольников вычисления определенных интегралов

Данные методы относятся к простейшим из класса методов Ньютона-Котеса. В них подынтегральная функция f (x) на каждом интервале разбиения заменяется полиномом нулевой степени, т.е. константой. Такая замена является неоднозначной, т.к. константу можно выбрать равной значению f (x) в любой точке данного интервала разбиения.

В любом случае значение частичного интеграла определяется как произведение длины интервала разбиения на выбранную константу, т.е. как площадь прямоугольника. В зависимости от способа выбора аппроксимирующей константы различают методы левых, средних или правых прямоугольников (рис.6.4).

Левые

Средние

Правые

Рис.6.4. Геометрическая интерпретация методов прямоугольников

Введем следующие обозначения: точку a на оси OX обозначим через x ₀, точку b - через x _n, а точки разбиения промежутка [ a,b ] - через x ₁, x ₂,..., x _n-1. Предполагается, что длина интервала разбиения постоянна на всем [ a,b ]. Обозначим ее через h:

; x _i = x _i-1 + h, i =1,2,..., N.

Тогда в методе левых прямоугольников площадь каждого i -го прямоугольника

а для всего промежутка [ a,b ]: