В усовершенствованном методе Эйлера усреднялись наклоны касательных, т.е. производные от искомой функции. В модифицированном методе происходит усреднение точек (рис.7.8).
Прямая L1 есть касательная к истинной кривой y=y(x) в точке (xm, ym). Ее наклон к оси OX равен углу 
, для которого
,
или в силу (7.2):
.
Рис.7.8. Модифицированный метод Эйлера
Прямая L2 есть касательная к решению уравнения (7.2) в точке 
, являющейся пересечением L1 c прямой x = xm+h/2. Наклон L2 равен углу 
, для которого
.
Прямая L параллельна прямой L2 и проходит через точку (xm, ym), а ее пересечение c прямой x = xm+1 и определяет окончательное значение ym+1 решения уравнения в тоске xm+1. Уравнение прямой L можно записать в виде
,
где 
.
Поэтому
| (7.12) |
Выражение (7.12) есть вычислительная формула модифицированного метода Эйлера.
Он также согласуется с разложением в ряд Тейлора с точностью до h2. Блок-схема этого алгоритма аналогична предыдущей и отличается лишь формулой в блоке «ордината следующей точки».
