Исправленный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка

Поиск:

Исправленный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка

⇐ Предыдущая 16 17 18 19 20 21 222324 25 Следующая ⇒

В усовершенствованном методе Эйлера усреднялись наклоны касательных, т.е. производные от искомой функции. В модифицированном методе происходит усреднение точек (рис.7.8).

Прямая L₁ есть касательная к истинной кривой y=y(x) в точке (x_m, y_m). Ее наклон к оси OX равен углу , для которого

или в силу (7.2):

Рис.7.8. Модифицированный метод Эйлера

Прямая L₂ есть касательная к решению уравнения (7.2) в точке , являющейся пересечением L₁c прямой x = x_m+h/2. Наклон L₂ равен углу , для которого

Прямая L параллельна прямой L₂ и проходит через точку (x_m, y_m), а ее пересечение c прямой x = x_m₊₁ и определяет окончательное значение y_m₊₁ решения уравнения в тоске x_m₊₁. Уравнение прямой L можно записать в виде

где .

Поэтому

(7.12)

Выражение (7.12) есть вычислительная формула модифицированного метода Эйлера.

Он также согласуется с разложением в ряд Тейлора с точностью до h². Блок-схема этого алгоритма аналогична предыдущей и отличается лишь формулой в блоке «ордината следующей точки».

⇐ Предыдущая 16 17 18 19 20 21 222324 25 Следующая ⇒

Дата добавления: 2015-02-12; просмотров: 370 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов