Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


»нтерпол€ционный полином Ќьютона




Ќьютон предложил следующий вид интерпол€ционного полинома:

P n(x)= A 0+ A 1(x - x 0)+ A 2(x - x 0)(x - x 1)+...+ A n(x - x 0)(x - x 1)...(x - x n-1) (5.6)

 оэффициенты этого полинома A 0, A 1, A 2,..., A n определ€ютс€ из условий Ћагранжа (5.3).

ѕолагаем x = x 0. “огда в (5.6) все слагаемые, кроме A 0, обращаютс€ в нуль, следова≠тель≠но,

A 0 = f 0.

«атем полагаем x = x 1, тогда из (5.3) имеем:

f 0 + A 1(x 1- x 0)= f 1,

откуда находим коэффициент A 1:

A 1 = или A 1 = f 01.

¬еличина f 01 = называетс€ разделенной разностью первого пор€дка. ѕри малом рассто€нии между x 0 и x 1 эта величина близка к первой производной от функции f (x), вычисленной в точке x = x 0.

ѕри x = x 2 полином (5.6) принимает вид:

P n(x)= f 0+ f 01(x - x 0)+ A 2(x - x 0)(x - x 1),

откуда с учетом (5.3) получаем:

f 2 = f 0+ f 01(x 2- x 0)+ A 2(x 2- x 0)(x 2- x 1) или f 2 - f 0- f 01(x 2- x 0) = A 2(x 2- x 0)(x 2- x 1),

следовательно, коэффициент A 2:

A 2= = = = ,

где . ќбознача€ = f 012 (разделенна€ разность второго пор€дка),

окончательно получаем выражение дл€ A 2:

A 2 = f 012 .

јналогично, при x = x 3, находим коэффициент A 3:

,

где ; .

ћетодом математической индукции можно получить дл€ любого A k (k=0,...,n) следующее выражение:

.

ѕолученные результаты сведены в представленной ниже таблице.

—ледует отметить, что добавление новых узлов в исходных данных не измен€ет уже вычисленные коэффициенты; таблица будет лишь дополн€тьс€ новыми строками и столбцами.

¬ интерпол€ционный полином Ќьютона вход€т только диа≠го≠нальные элементы данной таблицы, а остальные €вл€ютс€ промежуточными данными. ƒл€ вычислени€ любого элемента этой таблицы необходимы: диагональный элемент предыдущего столбца и предыдущий элемент данной строки.

ѕоэтому в программе, реализующей данный алгоритм, не нужно организовывать двумерный массив. Ѕолее того, все разделенные разности, в том числе и диагональные элементы (коэффициенты полинома) можно помещать по мере вычислени€ на место исходных значений f k. —ледовательно, в программе можно ограничитьс€ только двум€ массивами: -дл€ узлов и F -дл€ значений аппроксимируемой функции. ћассив F по мере выполнени€ программы будет заполн€тьс€ разделенными разност€ми, и в конце концов в нем будут получены коэф≠фициенты полинома A 0, A 1, A 2,..., A n.

“аким образом, данный метод аппроксимации, так же как и в случае канонического полинома, дает в качестве результата коэффициенты интерпол€ционного полинома.

ѕосле определени€ коэффициентов A 0, A 1, A 2,..., A n вычисление значений полинома Ќьютона при конкретных аргументах x рекомендуетс€ выполн€ть также по схеме √орнера, дл€ чего полином (5.8) надо преобразовать к виду:

P n(x)= A 0+(x-x 0)(A 1+(x-x 1)(A 2+...+(x-x n-1) A n)...)).

Ќа рис.5.4 представлена блок-схема вычислени€ коэффициентов полинома Ќьютона и его значений в точках интерпол€ции по схеме √орнера.

 

    –азделенные разности  
x f        
x 0 f 0 = A 0      
  x 1   f 1 f 01=   = A 1      
  x 2   f 2 f 02= f 012=   = A 2      
  x 3   f 3 f 03= f 013= f 0123=   = A 3  
  x 4   f 4 f 04= f 014= f 0124= f 01234=   = A 4
                     

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 767 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќадо любить жизнь больше, чем смысл жизни. © ‘едор ƒостоевский
==> читать все изречени€...

1251 - | 1012 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.011 с.