Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


јппроксимаци€ зависимостей методом наименьших квадратов




¬ практике обработки экспериментальных данных могут быть ситуации, когда применение лагранжевой аппроксимации (полиномиальной или сплайновой) не оправдано или в принципе невозможно. ѕервым примером такой ситуации могут служить случаи, когда набор экспериментальных данных был получен со значительной погрешностью, либо на измер€емую (зависимую) величину вли€ли некоторые дополнительные, не учитываемые факторы. ƒл€ демонстрации этой ситуации на рис.5.5 представлены экспериментальные точки, истинна€ неизвестна€ крива€ f (x) и аппроксимирующа€ крива€ (x), полученна€ одним из методов лагранжевой аппроксимации. ¬торой пример, представленный на рис.5.6, демонстрирует ситуацию, когда экспериментальные замеры в каждом узле проводились неоднократно и, вследствие погрешности измерительных приборов либо каких-либо других факторов, дали разные результаты. ¬ этом случае применение лагранжевой аппроксимации в принципе невозможно, так как каждому узлу x i соответствует несколько разных значений f i.

¬ этих услови€х требуетс€ проводить аппроксимирующую кривую, котора€ не об€зательно проходит через узловые точки, но в то же врем€ отражает исследуемую зависимость и сглаживает возможные выбросы, возникшие из-за погрешности эксперимента.

 

–ис.5.5. –ис.5.6.

 

 ак и в описанных выше методах аппроксимации считаем известными значени€ экспериментальных данных в узлах f (x i) = f i и через (x) обозначим непрерывную аппроксимирующую функцию. ¬ узлах значени€ функций f (x) и (x) будут отличатьс€ на величину i = f (x i) - (x i). ќтклонени€ i могут принимать как положительные, так и отрицательные значени€. „тобы не учитывать знаки, возведем каждое отклонение в квадрат, а дл€ оценки близости функций f (x) и (x) возьмем сумму этих квадратов

Q = = .   (5.11)

ћетод построени€ аппроксимирующей функции (x) из услови€ минимума величины Q называетс€ методом наименьших квадратов (далее - ћЌ ).

Ќаиболее распространен способ выбора функции (x) в виде линейной комбинации

(x) = с 0 0(x) + с 1 1(x) + Е + сm m(x), (5.12)

где 0(x), 1(x), Е, m(x) - базисные функции; ;

с 0, с 1, Е, сm - коэффициенты, определ€емые при минимизации величины Q.

ћатематически минимум величины Q достигаетс€ при равенстве нулю частных производных от Q по всем коэффициентам с 0, с 1, Е, сm:

 
  (5.13)
.......................................................................  
 

 

Ёта система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных с 0, с 1, Е, сm называетс€ системой нормальных уравнений, а матрица ее коэффициентов имеет следующий вид:

    (5.14)

Ёлементы матрицы (5.14) €вл€ютс€ скал€рными произведени€ми базисных функций

.   (5.15)

“ак как , то матрицу (5.14) можно переписать в виде

    (5.16)

ћатрица (5.16) называетс€ матрицей √рама.

–асширенна€ матрица системы (5.13) получаетс€ добавлением справа к (5.16) сто≠л≠б≠ца свободных членов

,     (5.17)

где - скал€рные произведени€. аналогичные (5.15).

ѕри обработке экспериментальных данных, полученных с погрешностью в каждой узловой точке, обычно начинают с аппроксимации функцией , представленной одной-двум€ базисными функци€ми. ѕосле определени€ коэффициентов с k вычисл€етс€ ве≠ли≠чина Q по формуле (5.11). ≈сли окажетс€, что , то необходимо расширить базис добавлением новых базисных функций . –асширение базиса необходимо про≠≠должать до тех пор, пока не выполнитс€ условие .





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 600 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќачинайте делать все, что вы можете сделать Ц и даже то, о чем можете хот€ бы мечтать. ¬ смелости гений, сила и маги€. © »оганн ¬ольфганг √ете
==> читать все изречени€...

1963 - | 1779 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.01 с.