Интерполяционный полином Лагранжа

Лагранж предложил следующую форму интерполяционного полинома:

(5.5)

Старшая степень аргумента x в этом полиноме равна n, так как каждое произведение в (5.5) содержит n сомножителей типа (x - x _j).

Рис.5.3. Алгоритм интерполяции с использованием полинома Лагранжа

В узлах x = x i выполняются условия Лаг­ран­жа P n (x i )=f i. Например, при n=3 полином Лагранжа выглядит следующим образом: P 3(x)= f 0 + + f 1 + + f 2 + + f 3 . Тогда, например, при x = x 2 получаем: P 3(x 2)= f 0 + + f 1 + + f 2 + + f 3 .

Сомножители при f ₀, f ₁ и f ₃ из-за наличия члена x ₂ - x ₂ обращаются в ноль, а сомно­жи­тель при f ₂ равен единице, т.е. P ₃(x ₂)= f ₂, что и требовалось доказать.

Блок-схема интерполяции полиномом Лагранжа приведена на рис.5.3.

В отличие от канонического полинома для вычислений значений полинома Лаг­ранжа не требуется предварительного определения коэффициентов полинома, но для каж­дой новой точки интерполяции полином приходится пересчитывать вновь. Поэтому практическое применение полинома Лагранжа оправдано в том случае, когда интерпо­ля­ция проводится в сравнительно небольшом количестве точек.