Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


»нтерпол€ци€ сплайнами




ѕри большом количестве узлов и, соответственно, при высокой степени аппрок≠симирующего полинома полиномиальна€ интерпол€ци€ не всегда дает удовлетворительные результаты, потому что в определенных ситуаци€х возникает так называемое "€вление волнистости", из-за которого аппроксимирующа€ функци€, несмотр€ на выполнение условий Ћагранжа в узлах, может давать значительные отклонени€ от аппроксимируемой кривой между узлами. ѕри этом повышение степени полинома приводит не к уменьшению, а к увеличению погрешности.

¬ этих услови€х хороший эффект может дать интерпол€ци€, основанна€ на теории сплайн-функций. —лово spline по-английски означает рейка, линейка. Ётот термин возник из опыта работы чертежников, которые дл€ проведени€ гладких кривых через точки на плоскости используют упругую линейку, совмеща€ ее с заданными точками. »з условий упругости недеформируемой линейки установлено, что между соседними узлами линейка проходит по линии, удовлетвор€ющей условию:

IV(x) = 0, (5.7)

где IV - четверта€ производна€ от функции (x).

—амой простой кривой, удовлетвор€ющей этому условию, €вл€етс€ полином третьей степени, поэтому в сплайновой аппроксимации наиболее распространенным €вл€етс€ применение кубических сплайнов. ¬ отличие от полиномиальной аппроксимации, когда вс€ аппроксимируема€ функци€ описываетс€ одним полиномом, при интерпол€ции кубическими сплайнами на каждом интервале [ x i-1, x i] строитс€ отдельный полином третьей степени со своими коэффициентами.  ак было отмечено выше, дл€ однозначного построени€ кубической параболы необходимо задание четырех точек на плоскости. ѕри построении каждого i-го сплайна (i=1,2,...,n) известны только две точки x i-1 и x i; поэтому кроме условий Ћагранжа дл€ этих точек

,  
  (5.8)
; i = 1,2,...,n

необходимо задание еще двух каких-то условий. »ми €вл€етс€ "гладкость" перехода с одного полинома на соседний, выражаема€ как непрерывность первой и второй производной от сплайнов в узлах:

,  
  (5.9)
;   i = 1,2,...,n-1.

 

”слови€ (5.9) можно задать только дл€ внутренних узловых точек таблицы x1,...,xn-1. ѕоэтому нужны еще дополнительные услови€ дл€ концевых точек интервала аппроксимации x0 и xn. ќбычно здесь используютс€ услови€ свободных концов сплайнов (линейка не закреплена в точках вне интервала [ x0, xn] и, следовательно, описываетс€ там уравнением пр€мой, т.е. полиномом первой степени). «начит дл€ концов интервала должны выполн€тьс€ услови€

= 0,  
  (5.10)
= 0.  

”слови€ (5.8), (5.9), (5.10), расписанные дл€ каждой узловой точки, дают систему из 4 n линейных алгебраических уравнений дл€ определени€ коэффициентов всех n сплайнов (по 4 коэффициента на каждый сплайн). ƒанна€ система после некоторых преобразований приводитс€ к так называемому трехдиагональному виду, т.е. ее матрица имеет ненулевые элементы только на главной диагонали и двух примыкающих к ней диагонал€х. ƒл€ решени€ таких систем примен€етс€ специальный метод, называемый методом прогонки и €вл€ющийс€ частным случаем метода √аусса.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 646 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

¬ моем словаре нет слова Ђневозможної. © Ќаполеон Ѕонапарт
==> читать все изречени€...

1272 - | 1252 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.008 с.