Постановка задачи, основные понятия
Одной из важнейших задач, возникающих в процессе математического моделирования, является вычислений значений функций, входящих в математическое описание модели. Используемые в математических моделях функции зачастую задаются табличным способом, например, если они получены в результате эксперимента.
| x | f (x) |
| x0 | f0 |
| x1 | f1 |
| x2 | f2 |
| ... | ... |
| xn | fn |
Выбранные значения аргумента x называются узлами таблицы. В общем случае узлы не являются равноотстоящими. При проведении вычислительных работ обычно возникает необходимость "сгущать" эти таблицы, т.е. вычислять функцию для значений аргумента, не совпадающих с теми, которые попали в таблицу. Эта проблема решается путем замены функции f(x), для которой может быть даже неизвестно аналитическое выражение, некоторой функцией 
(x), имеющей сравнительно несложный аналитический вид и которая в некотором смысле близка к f(x). Приближение функции f(x) более простой функцией (x) называется аппроксимацией. Близости этих функций добиваются введением в аппроксимирующую функцию (x) свободных параметров c0, c1, c2,..., cn. Критерии «близости» аппроксимирующей функции (x) к неизвестной функции f(x) могут быть самые различные. Например, это может быть равенство значений (x) и f(x) в узлах таблицы, или минимум суммы квадратов разности между этими значениями. Для аппроксимации по первому критерию применяются полиномиальные и сплайновые методы; второй критерий используется методом наименьших квадратов.
Задачей интерполяции является построение аппроксимирующей функции (x) и нахождение по ней приближенных значений табличной функции f(x) при аргументах x, не совпадающих с узловыми, но содержащихся в интервале (x0, xn). Эти значения аргумента в дальнейшем будем называть точками интерполяции. Если же аппроксимирующую функцию вычисляют для точек, расположенных вне интервала [x0, xn], то такая задача называется экстраполяцией.
