Матрица X является обратной по отношению к заданной квадратной матрице A, если их произведение дает единичную матрицу E:
| A . X = E. | (4.18) |
В единичной матрице элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0.
Как известно, произведение двух квадратных матриц A и X порядка n дает квадратную матрицу C того же порядка, элементы которой вычисляются по формуле:
| (4.19) |
Алгоритм обращения матриц, т.е. вычисления элементов матрицы X, удовлетворяющих матричному уравнению (4.18), рассмотрим на примере матриц третьего порядка:
 ;
|  ;
| 
|
Уравнение (4.18) с учетом формулы (4.19) для этих матриц имеет вид:
| a 11 x 11 +a 12 x 21 +a 13 x 31 | a 11 x 12 +a 12 x 22 +a 13 x 32 | a 11 x 13 +a 12 x 23 +a 13 x 33 | 1 0 0 | |
| a 21 x 11 +a 22 x 21 +a 23 x 31 | a 21 x 12 +a 22 x 22 +a 23 x 32 | a 21 x 13 +a 22 x 23 +a 23 x 33 | = | 0 1 0 |
| a 31 x 11 +a 32 x 21 +a 33 x 31 | a 31 x 12 +a 32 x 22 +a 33 x 32 | a 31 x 13 +a 32 x 23 +a 33 x 33 | 0 0 1 |
Фактически здесь записаны три СЛАУ третьего порядка:
| a 11 x 11 + a 12 x 21 + a 13 x 31 | = | ||
| 1) | a 21 x 11 + a 22 x 21 + a 23 x 31 | = | |
| a 31 x 11 + a 32 x 21 + a 33 x 31 | = |
| a 11 x 12 + a 12 x 22 + a 13 x 32 | = | ||
| 2) | a 21 x 12 + a 22 x 22 + a 23 x 32 | = | |
| a 31 x 12 + a 32 x 22 + a 33 x 32 | = |
| a 11 x 13 + a 12 x 23 + a 13 x 33 | = | ||
| 3) | a 21 x 13 + a 22 x 23 + a 23 x 33 | = | |
| a 31 x 13 + a 32 x 23 + a 33 x 33 | = |
Их особенностью является то, что все три системы имеют одну и ту же матрицу коэффициентов при неизвестных, а именно матрицу А.
Итак, чтобы найти матрицу X, обратную к заданной матрице А порядка n, надо решить n систем линейных уравнений, матрицей коэффициентов которых является исходная матрица А, а вектор-столбцами свободных членов являются столбцы единичной матрицы E.
При использовании метода Гаусса решения этих n систем прямой ход можно осуществить одновременно для всех систем. Расширенная матрица при этом будет иметь порядок n х 2n; ее левая половина есть матрица А, правая - матрица E.
