Обращение матриц
Лекции.Орг

Поиск:


Обращение матриц




Матрица X является обратной по отношению к заданной квадратной матрице A, если их произведение дает единичную матрицу E :

A . X = E. (4.18)

В единичной матрице элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0.

Как известно, произведение двух квадратных матриц A и X порядка n дает квад­рат­ную матрицу C того же порядка, элементы которой вычисляются по формуле:

  (4.19)

Алгоритм обращения матриц, т.е. вычисления элементов матрицы X, удовлетворяю­щих матричному уравнению (4.18), рассмотрим на примере матриц третьего порядка:

; ;

 

Уравнение (4.18) с учетом формулы (4.19) для этих матриц имеет вид:

a11 x11+a12 x21+a13 x31 a11 x12+a12 x22+a13 x32 a11 x13+a12 x23+a13 x33   1 0 0
a21 x11+a22 x21+a23 x31 a21 x12+a22 x22+a23 x32 a21 x13+a22 x23+a23 x33 = 0 1 0
a31 x11+a32 x21+a33 x31 a31 x12+a32 x22+a33 x32 a31 x13+a32 x23+a33 x33   0 0 1

 

Фактически здесь записаны три СЛАУ третьего порядка:

  a11 x11 + a12 x21 + a13 x31 =
1) a21 x11 + a22 x21 + a23 x31 =
  a31 x11 + a32 x21 + a33 x31 =

 

  a11 x12 + a12 x22 + a13 x32 =
2) a21 x12 + a22 x22 + a23 x32 =
  a31 x12 + a32 x22 + a33 x32 =

 

  a11 x13 + a12 x23 + a13 x33 =
3) a21 x13 + a22 x23 + a23 x33 =
  a31 x13 + a32 x23 + a33 x33 =

 

Их особенностью является то, что все три системы имеют одну и ту же матрицу коэффициентов при неизвестных, а именно матрицу А.

Итак, чтобы найти матрицу X, обратную к заданной матрице А порядка n, надо решить n систем линейных уравнений, матрицей коэффициентов которых является исходная матрица А, а вектор-столбцами свободных членов являются столбцы еди­ничной матрицы E.

При использовании метода Гаусса решения этих n систем прямой ход можно осу­ществить одновременно для всех систем. Расширенная матрица при этом будет иметь по­рядок n х 2n; ее левая половина есть матрица А, правая - матрица E.





Дата добавления: 2015-02-12; просмотров: 477 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:



© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.003 с.