Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простых итераций

Для применения этого метода приведем систему (4.1) к виду:

Зададимся некоторым начальным приближением , ,..., и подставим его значения в правые части (4.20), и получим новое приближение , ,..., , которое подставим снова в систему (4.20) и т.д.

Таким образом организуется итерационный процесс, называемый методом простых итераций для систем алгебраических уравнений и являющийся обобщением метода простых итераций для алгебраических уравнений, рассмотренного в разделе 3:

	(4.21)
................................
	,

где =(a _i,n+1- a _i1 x ₁- a _i2 x ₂-...- a _in x _n) / a _ii+ x _i , i=1,2,...,n; m - номер итерации.

Процесс (4.21) можно представить в несколько ином виде:

	(4.22)
......................................
	,

где =(a _i,n+1- a _i1 x ₁- a _i2 x ₂-...- a _in x _n) / a _ii , i=1,2,...,n;

Значения или короче характеризуют разницу между m-м и (m+1)-м при­ближениями и образуют совокупность так называемых невязок (m+1)-го приближения.

Процесс (4.21) или (4.22) является бесконечным вычислительным процессом, каж­дая новая итерация которого дает все лучшее приближение к точному решению системы. В качестве критерия окончания обычно берется выполнение условия: “Все невязки по абсолютной величине меньше наперед заданного числа ”, харак­теризу­ющего точность решения системы, т.е.

< , i =1,2,...,n

(4.23)