Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


–ешение систем линейных алгебраических уравнений методом √аусса




ќсновной задачей линейной алгебры €вл€етс€ решение систем линейных алгебра≠ических уравнений (—Ћј”).  роме этого здесь решаютс€ задачи обращени€ матриц, вычислени€ определителей, нахождени€ собственных значений и собственных векторов матриц.

ќбщий вид системы линейных алгебраических уравнений:

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = a1,n+1  
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = a2,n+1 (4.1)
.... . .... . ... . .... . ....  
an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = an,n+1  

где aij - заданные элементы расширенной матрицы —Ћј” (i=1,...,n, j=1,...,n+1);

xi - неизвестные (искомые) величины;

n - пор€док системы.

—истеме (4.1) соответствует расширенна€ матрица размера n на n+1:

a11 a12 ... a1n a1,n+1
a21 a22 ... a2n a2,n+1
. . . . .
an1 an2 ... ann an,n+1

в которой первые n столбцов состо€т из коэффициентов при неизвестных, а пос≠лед≠ний столбец образован из свободных членов системы (4.1).

–ешить —Ћј” - значит найти такую комбинацию значений xi, при которой каждое уравнение (4.1) превращаетс€ в тождество.

ѕо правилу  рамера каждое значение xi решени€ системы (4.1) вычисл€етс€ по фор≠муле xi= D i /D, где D - определитель матрицы коэффициентов при неизвестных, D i - определитель матрицы, получен≠ной из матрицы коэффициентов при неиз≠ве≠стных за≠ме≠ной i-го столбца на столбец свободных членов.

Ётой формулой можно с успехом поль≠зоватьс€ дл€ систем 2-го, 3-го пор€дков, но дл€ более высоких пор€дков вычис≠ление определителей становитс€ довольно сложной проблемой, и поэтому метод, ос≠но≠ванный на правиле  рамера, практически не исполь≠зуетс€.

4.2. –ешение систем линейных алгебраических уравнений методом √аусса

«начительно более простым и эффективным по быстродействию €вл€етс€ метод √аусса. јлгоритм этого метода состоит из двух этапов, называемых, соответ≠ственно, пр€мым и обратным ходом. ÷елью пр€мого хода €вл€етс€ последовательное исключе≠ние неизвестных из уравнений системы; и только в обратном ходе производитс€ непосредственное определение значений неизвестных.

¬начале рассмотрим выполнение алгоритма метода √аусса на примере системы 3-го пор€дка

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = a 14  
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = a 24 (4.1Т)
a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = a 34 .

»з первого уравнени€ (4.1Т) выразим x 1:

x 1 = (a 14 - a 12 x 2 - a 13 x 3) / a 11 , (4.2)

а само это уравнение запишем в виде:

x 1 + x 2 + x 3 = , (4.3)

где

= a 1j / a 11, j = 2,3,4. (4.4)

ѕодставим (4.2) с учетом (4.4) во второе и третье уравнени€ (4.1Т) и получим систему:

  x 1   + x 2 + x 3 =  
    x 2 + x 3 = (4.5)
    x 2 + x 3 = ,

где = a ij - a i1 . , i=2,3; j = 2,3,4,

т.е. на данном этапе пр€мого хода из второго и третьего уравнений системы исключе≠но неизвестное x 1.

»з второго уравнени€ преобразованной системы (4.5) выразим x 2 :

x 2 = ( - x 3) / , (4.6)

а само это уравнение запишем в виде:

x 2 + x 3 = , (4.7)

где

= / , j = 3,4. (4.8)

ѕодставим (4.6) с учетом (4.8) в третье уравнение (4.5) и получим систему:

  x 1   + x 2   + x 3   =  
      x 2   + x 3   = (4.9)
        x 3   = ,

где = - . , j = 3,4,

т.е. на данном этапе пр€мого хода из третьего уравнени€ системы исключено x 2.

»з третьего уравнени€ (4.9) выразим x 3: x 3 = / ,

или x 3 = .

“еперь система приобретает вид:

  x 1   + x 2   + x 3   =  
      x 2   + x 3   = (4.10)
          x 3   = .

Ќа этом заканчиваетс€ пр€мой ход метода √аусса. ћатрица коэффициентов полученной системы имеет вид:

   
    (4.11)
      .

Ёто треугольна€ матрица. Ќа ее главной диагонали расположены единицы, а элементы под главной диагональю равны нулю.

ќбратный ход метода очевиден. “ретье уравнение системы (4.10) уже €вно опре≠дел€ет значение x 3

. (4.12)

ѕодставл€€ это значение во второе уравнение (4.10), получаем:

. (4.13)

ѕодставл€€ найденные значени€ x 2, x 3 в первое уравнение (4.10), получаем значение x 1:

. (4.14)

—оотношени€ (4.12), (4.13), (4.14) и €вл€ютс€ решением системы (4.1Т).

“еперь обобщим рассмотренный алгоритм на произвольную систему n-го пор€д≠ка. Ќа каждом k-ом шаге (k=1,2,3,...,n) пр€мого хода выполн€ютс€ операции:

 

, j = 1,2,...,n+1, (4.15)
, i = k+1,...,n; j = 1,2,...,n+1. (4.16)

 

Ќа последнем шаге, т.е. при k=n, выполн€ютс€ только операции (4.15), так как дл€ выполнени€ (4.16) уже исчерпаны все значени€ i.

ѕри выполнении операций (4.15) производитс€ деление на диагональные эле≠менты a kk. ѕоэ≠тому может возникнуть критическа€ ситуаци€, если этот элемент ока≠зываетс€ равным нулю. »збежать этой ситуации можно путем перестановки урав≠не≠ний преобразуемой системы, начина€ с k-го и по n-е таким образом, чтобы на месте a kk ока≠залс€ ненулевой элемент. Ѕолее того, доказано, что дл€ дости≠же≠ни€ макси≠мальной точности решени€ системы надо перестановку уравнений осуществл€ть таким об≠разом, чтобы на месте a kk оказывалс€ максимальный по модулю элемент из тех, что наход€тс€ в k-м столбце матрицы системы начина€ с диагонального и ниже. Ёта процедура называетс€ выбором глав≠ного элемента. ≈сли же в результате этой про≠цедуры на главной диагонали окажетс€ все-таки нулевой элемент, то это означает, что главный определитель D матрицы системы равен нулю. ѕо правилу  рамера это значит, что система вырожденна€, т.е. либо не имеет решений, либо имеет их беско≠нечно много.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 872 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

∆изнь - это то, что с тобой происходит, пока ты строишь планы. © ƒжон Ћеннон
==> читать все изречени€...

467 - | 386 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.014 с.