Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ћетод дихотомии




–ешение трансцендентных уравнений

–ешение трансцендентных уравнений методом дихотомий.

¬о многих инженерных и научных задачах возникает необходимость решени€ уравнений вида:

F(x, a1, a2,..., ak) = 0 (3.1)

где F - заданна€ непрерывна€ функци€;

x Ц неизвестна€ величина, подлежаща€ определению;

a1, a2,..., ak Ц известные параметры функции F.

–ешить уравнение (3.1) - это значит найти такое значение (или такие значени€) неизвестной x, при которых уравнение (3.1) превращаетс€ в тождество. Ёти значени€ x называютс€ корн€ми уравнени€ (3.1).

“олько дл€ простейших уравнений удаетс€ найти решение в аналитическом виде, т.е. записать формулу

x = f(a1, a2,..., ak),

выражающую искомую величину x €вным образом через параметры a1, a2,..., ak, например, дл€ уравнени€ вида

ax2 + bx + c = 0

его корни выражаютс€ формулой:

.

¬ большинстве же случаев аналитическую запись корней уравнени€ найти очень сло≠ж≠но или в принципе невозможно (такие уравнени€ называютс€ трансцендентными), и по≠это≠му приходитс€ решать уравнение численным способом.

ћетод дихотомии

ѕусть на этапе отделени€ корней получены две точки A и B (A<B), между которыми находитс€ корень уравнени€ (3.1), т.е. такие точки, в которых знаки значений функ≠ции F (x) противоположны (см. рис.3.2): sign F (A) ¹ sign F (B).

ћетод дихотомии, называемый еще методом половинного делени€, заключаетс€ в следующем:

1) определ€етс€ середина отрезка [ A, B ]:

;   (3.2)

2) вычисл€етс€ значение функции в этой точке - F (P) и его знак sign F (P);

3) корень уравнени€ (3.1) находитс€ в той половине отрезка [ A, B ], на концах которой функци€ F (x) имеет разные знаки. ≈сли это будет половинка [ A, P ], то перенесем точку B в точку P; если же половинка [ P, B ], то перенесем точку A в точку P. Ѕлагодар€ этой операции длина отрезка [ A, B ], на котором находитс€ корень уравнени€, уменьшилась вдвое, т.е. можно сказать, что значение корн€ определено с точностью до длины полученного отрезка.

 аждое новое повторение действий 1,2,3 будет давать все более точные значени€ корн€ уравнени€. ѕовторение этого процесса следует прекращать, когда длина отрезка [ A, B ] станет меньше заранее заданного значени€ , €вл€ющегос€ в данном случае ошиб≠кой ограничени€, т.е. неравенство

B - A < (3.3)

€вл€етс€ критерием окончани€ вычислительного процесса.

≈сли величина задана очень мала€, то вблизи корн€ значени€ F (x) могут ока≠затьс€ сравнимыми с погрешностью ее вычислени€, т.е. при подходе к корню вычисли≠тельный процесс может попасть в так называемую "полосу шума", и дальнейшее уточне≠ние корн€ окажетс€ невозможным. ѕоэтому кроме точности надо задавать в алгоритме ширину "полосы шума" 1 и прекращать процесс при попадании в него, т.е. неравенство F(P) | < 1 €вл€етс€ дополнительным критерием окончани€ вычислительного процесса.

 

 

–ис.3.2. √еометрическа€ интерпретаци€ метода дихотомии





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1172 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ћучша€ месть Ц огромный успех. © ‘рэнк —инатра
==> читать все изречени€...

1897 - | 1807 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.008 с.