Решение трансцендентных уравнений методом касательных (метод Ньютона)

Графическая интерпретация метода представлена на рис.3.5. Предположим, что каким-либо способом найдено начальное приближение х ₀ к истинному корню. Например, при использовании отделения корней, в качестве х ₀ можно взять левую или правую границу промежутка, содержащего корень уравнения F (x) = 0, либо любую другую точку из этого промежутка. В точке х ₀ вычислим значение функции F (x), а также значение ее производной F ^‘(x). Следующее приближение к корню, т.е. точку х ₁ определим, как пересечение оси ОХ с касательной к кривой F (x) в точке х ₀:

Аналогичным образом, вычислив значения F (x) и F ^‘(x), в точке х ₁, можно получить приближение х ₂:

В общем случае вычислительный процесс метода Ньютона выражается формулой:

(3.6)

где каждое новое значение х _k (k=1, 2, 3, …) будет располагаться все ближе к истинному корню х *., т.е. будет представлять собой все более точное приближение к решению уравнения F (x) = 0.

Рис.3.5. Метод Ньютона

Рис.3.6. Модифицированный метод Ньютона

Процесс уточнения корня по формуле (3.6) следует прекращать, когда выполнится условие , т.е. когда расстояние между двумя соседними приближениями станет меньше заранее за­данной точности .

Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости. Обычно абсолютная точность решения 10^-5 – 10^-6 достигается за 4-5 итераций. Недостатком метода является необходимость вычисления на каждом шаге не только левой части F (x) уравнения, но и ее первой производной.

На практике иногда применяется так называемый модифицированный метод Ньютона, который отличается от метода Ньютона тем, что первая производная от F (x) вычисляется лишь один раз в точке х ₀. Вычислительный процесс модифицированного метода Ньютона описывается формулой:

(3.7)

а его геометрическая иллюстрация приведена на рис. 3.6.