Графическая интерпретация метода представлена на рис.3.5. Предположим, что каким-либо способом найдено начальное приближение х 0 к истинному корню. Например, при использовании отделения корней, в качестве х 0 можно взять левую или правую границу промежутка, содержащего корень уравнения F (x) = 0, либо любую другую точку из этого промежутка. В точке х 0 вычислим значение функции F (x), а также значение ее производной F ‘(x). Следующее приближение к корню, т.е. точку х 1 определим, как пересечение оси ОХ с касательной к кривой F (x) в точке х 0:
Аналогичным образом, вычислив значения F (x) и F ‘(x), в точке х 1, можно получить приближение х 2:
В общем случае вычислительный процесс метода Ньютона выражается формулой:
| (3.6) |
где каждое новое значение х k (k=1, 2, 3, …) будет располагаться все ближе к истинному корню х *., т.е. будет представлять собой все более точное приближение к решению уравнения F (x) = 0.
Рис.3.5. Метод Ньютона
| 
Рис.3.6. Модифицированный метод Ньютона
|
Процесс уточнения корня по формуле (3.6) следует прекращать, когда выполнится условие 
, т.е. когда расстояние между двумя соседними приближениями станет меньше заранее заданной точности 
.
Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости. Обычно абсолютная точность решения 10-5 – 10-6 достигается за 4-5 итераций. Недостатком метода является необходимость вычисления на каждом шаге не только левой части F (x) уравнения, но и ее первой производной.
На практике иногда применяется так называемый модифицированный метод Ньютона, который отличается от метода Ньютона тем, что первая производная от F (x) вычисляется лишь один раз в точке х 0. Вычислительный процесс модифицированного метода Ньютона описывается формулой:
| (3.7) |
а его геометрическая иллюстрация приведена на рис. 3.6.
