Касательная и нормаль к линии

 

 

Из геометрического смысла производной следует, что если нам известно уравнение некоторой линии в системе декартовых координат на плоскости, то мы можем аналитически решать геометрические задачи, относящиеся к касательной к этой линии. Прежде всего составим уравнение касательной к линии в ее точке где Так касательная прямая проходит через точку и имеет угловой коэффициент, равный то ее уравнение таково:

Определение. Нормалью к линии в ее точке называется прямая, проходящая через точку и перпендикулярная к касательной в той же точке.

Так как нормаль к линии в точке проходит через точку и имеет угловой коэффициент, равный

то ее уравнение таково:

 

 

 

Пример.

 

Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

Решение. Так как

то угловой коэффициент касательной равен

Следовательно, уравнение касательной:

или

Уравнение нормали: или

 

Вариант 1.

 

1. Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

 

1. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

Вариант 2.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11)

12) ,

13) ,

14) .

1. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

Вариант 3.

 

1.Найти производные следующих функций:

,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

2. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

Вариант 4.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

1. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

Вариант 5.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

2. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

 

Вариант 6.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

 

2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

 

Вариант 7.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

 

Вариант 8.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

 

2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

 

Вариант 9.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

 

2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

 

Вариант 10.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

 

2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

 

Вариант 11.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

 

2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

 

Вариант 12.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

 

2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой , в точке

 

Вариант 13.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

 

2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

 

Вариант 14.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

 

2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

 

Вариант 15.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

 

2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

 

Вариант 16.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

 

Вариант 17.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

 

 

2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

 

 

Вариант 18.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

 

Вариант 19.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

 

2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

 

Вариант 20.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

 

2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

 

Вариант 21.

 

1.Найти производные следующих функций:

 

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

 

Вариант 22.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

 

2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

 

Вариант 23.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

 

Вариант 24.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

 

2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке

 

Вариант 25.

 

1.Найти производные следующих функций:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) .

 

2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке