Теорема. Производная от функции 
равна 
т.е. если 
то 
Доказательство. Если ∆y есть приращение функции соответствующее приращению ∆x аргумента x, то
Умножим и разделим на x выражение, стоящее в правой части последнего равенства:
Обозначим величину 
через 
.Очевидно, 
при ∆x→0 и данном x. Следовательно,
Но, как известно 
Если же выражение, стоящее под знаком логарифма, стремится к числу e, то логарифм этого выражения стремится к 
Поэтому окончательно получаем
Заметив, что 
полученную формулу можно переписать так: 
Отметим важный частный случай этой формулы: если 
т.е. если 
то 
§7. Производные функций y=tgx, y=ctgx.
Теорема 1. Производная от функции tgx равна 
т.е. если 
то 
Доказательство. Так как 
то по правилу дифференцирования дроби получаем
Теорема 2. Производная от функции ctgx равна 
т.е. если y=ctgx, то 
Доказательство. Так как 
то
