Пример

Если ,то

 

Производные обратных тригонометрических функций.

 

Пусть y=arcsinx, где -1≤x≤1 и

Обратная функция имеет вид x=siny, причем если

Используя правило дифференцирования обратной

функции, получим

 

 

 

Так как при то, получаем

Следовательно, имеем т.е. (

2. Пусть y=arccosx, тогда x=cosy, причем -1≤x≤1 и 0≤y≤π.

На основании правила дифференцирования обратной функции имеем

Так как siny>0 при 0<y<π, то

Поэтому

Таким образом,

3.Пусть y=arctgx и, следовательно, x=tgy.

Имеем

Таким образом,

 

4.Пусть y=arcctgx

тогда x=ctgy.

Имеем

т.е.

 

Пример.

 

 

Производная показательной функции.

Для нахождения производной показательной функции воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции.

Если то и

Отсюда

Следовательно,

Таким образом,

В частности, если то

Примеры.

1.

2.

4.

 

 

Таблица основных формул дифференцирования.

 

На этом этапе темы «Производная» целесообразно составить следующую таблицу производных , где F – одна из основных элементарных функций. Напомним, что основными элементарными функциями принято называть следующие: степенную функцию , показательную функцию , логарифмическую функцию , четыре

тригонометрические функции и четыре обратные тригонометрические функции .