Основные правила дифференцирования

Рассмотрим правила дифференцирования.

Теорема 1. Если функции u =u(x) и v=v(x) дифференцируемы в данной точке x,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)'=u'+v'. (3)

Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).

Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=[u(x+∆x)+v(x+∆x)]--[u(x)+v(x)]=∆u+∆v.

Следовательно,

Итак, (u+v)'=u'+v'.

Теорема 2. Если функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы в данной точке x, то в той же точке дифференцируемо и их произведение. При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)'=u'v+uv'. (4)

Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.

Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Отсюда

Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, что u и v не зависят от ∆x, будем иметь

Теорема 3. Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т.е.

Если то (5)

Теорема 4. Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y'=0.

Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y'=Cu'(x).