Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Основные правила дифференцирования




 

Рассмотрим правила дифференцирования.

 

Теорема 1. Если функции u =u(x) и v=v(x) дифференцируемы в данной точке x,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)'=u'+v'. (3)

Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).

Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=[u(x+∆x)+v(x+∆x)]--[u(x)+v(x)]=∆u+∆v.

 

Следовательно,

 

Итак, (u+v)'=u'+v'.

 

Теорема 2. Если функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы в данной точке x, то в той же точке дифференцируемо и их произведение. При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)'=u'v+uv'. (4)

Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.

Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Отсюда

Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, что u и v не зависят от ∆x, будем иметь

 

Теорема 3. Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т.е.

Если то (5)

 

Теорема 4. Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y'=0.

 

Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y'=Cu'(x).





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-07; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 800 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Студенческая общага - это место, где меня научили готовить 20 блюд из макарон и 40 из доширака. А майонез - это вообще десерт. © Неизвестно
==> читать все изречения...

2325 - | 2276 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.