Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


–аскрытие неопределенностей




ѕравило Ѕернулли-Ћопитал€

I ѕон€тие неопределенного выражени€

ѕусть и Ц бесконечно малые, а и Ц бесконечно большие функции при .

Ќеопределенными выражени€ми (или неопределенност€ми) при называют следующие выражени€:

1) Ц неопределенность вида ;

2) Ц неопределенность вида ;

3) Ц неопределенность вида ;

4) Ц неопределенность вида ;

5) Ц неопределенность вида ;

6) Ц неопределенность вида ;

7) Ц неопределенность вида .

–аскрыть неопределенность означает вычислить предел (соответствующего выражени€) при .

II Ќеопределенности вида , .

“еорема ЅернуллиЦЋопитал€. ѕусть функции и удовлетво- р€ют услови€м: 1) определены и дифференцируемы на ; 2) ; 3)выражение €вл€ютс€ при неопределенностью вида или . “огда, если существует предел (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула

.

ƒругими словами предел отношени€ двух б.м. или б.б. функций можно заменить пределом отношени€ их производных, если последний существует Ц это и есть правило Ѕернулли-Ћопитал€.

ƒоказательство. ƒокажем теорему лишь дл€ случа€ . ƒоопределим функции и в точке , положив их равными нулю: . “еперь эти функции непрерывны во всем замкнутом промежутке : их значение в точке а совпадают с пределами (ведь и при ), в других же точках непрерывность вытекает из дифференцируемости.   этой паре функций можем применить теорему  оши из І3:

,

где . ”читыва€, что функции в точке а равны нулю, получим

.

ќчевидно, что при и . ѕрава€ часть последнего равенства имеет при предел (по условию теоремы), но тогда и лева€ часть имеет тот же самый предел.

«амечание 1. јналогичное утверждение имеет место и дл€ левого предела, а также дл€ пределов на бесконечности, т.е. при .

ѕример 1. ƒл€ . Ётим пределом доказано, наконец, соотношение , то есть при ().

«амечание 2. ≈сли производные и удовлетвор€ют тем же требовани€м, что и сами функции и , то правило Ѕернулли-Ћопитал€ можно применить повторно.

ѕример 2. .

Ќетрудно заметить, что

.

ƒругими словами, или при .

«амечание 3. ѕравило Ѕернулли-Ћопитал€ можно примен€ть только, когда предел отношени€ производных существует. Ќапример,

,

но не существует. Ётот пример показывает, что из не-существовани€ нельз€ делать вывод о .

«амечание 4. —уществуют ситуации, в которых применение правила Ѕернулли-Ћопитал€ ничего не дает.

ѕример 3. .

≈ще одно применение правила вернет нас к исходному пределу.

III ƒругие виды неопределенностей.

≈ще раз напомним, что правило Ѕернулли-Ћопитал€ применимо лишь к неопределенност€м вида и . ¬се остальные неопределенности необходимо сводить к одной из этих двух путем алгебраических преобразований.

ј) . “ак как , то эту неопределенность можно свести к или .

ѕример 4. ƒл€ :

.

«аметим, что, если иначе преобразовать произведение в частное, то применение правила Ѕернулли-Ћопитал€ приводит к усложнению неопределенности: .

B) . “ак как ,то данна€ неопреде-ленность сводитс€ к виду . „асто, впрочем, того же удаетс€ достигнуть проще.

ѕример 5.

¬ычислени€ можно упростить, если перед первым применением правила использовать эквивалентность , :

.

—) , , . “ак как (основное логарифмическое тождество) и (непрерывность показательной функции), то неопределенности этих типов свод€тс€ к неопределенности вида .

ѕример 6. (смотри пример 4).

ѕример 7.

(смотри пример 1).

«амечание 5. –аскрыва€ неопределенности по правилу Ѕернулли-Ћопитал€, следует использовать и другие методы вычислени€ пределов: эквивалентности, замена переменной и т.д.

ѕример 8.

(смотри пример 2).





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 719 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ѕольшинство людей упускают по€вившуюс€ возможность, потому что она бывает одета в комбинезон и с виду напоминает работу © “омас Ёдисон
==> читать все изречени€...

2290 - | 1998 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.021 с.