Правило Бернулли-Лопиталя
I Понятие неопределенного выражения
Пусть 
и 
– бесконечно малые, а 
и 
– бесконечно большие функции при 
.
Неопределенными выражениями (или неопределенностями) при называют следующие выражения:
1) 
– неопределенность вида 
;
2) 
– неопределенность вида 
;
3) 
– неопределенность вида 
;
4) 
– неопределенность вида 
;
5) 
– неопределенность вида 
;
6) 
– неопределенность вида 
;
7) 
– неопределенность вида 
.
Раскрыть неопределенность означает вычислить предел (соответствующего выражения) при .
II Неопределенности вида 
, .
Теорема Бернулли–Лопиталя. Пусть функции и удовлетво- ряют условиям: 1) определены и дифференцируемы на 
; 2) 
; 3)выражение являются при 
неопределенностью вида или 
. Тогда, если существует предел 
(конечный или бесконечный), то существует и предел 
, причем справедлива формула
.
Другими словами предел отношения двух б.м. или б.б. функций можно заменить пределом отношения их производных, если последний существует – это и есть правило Бернулли-Лопиталя.
Доказательство. Докажем теорему лишь для случая . Доопределим функции и в точке 
, положив их равными нулю: 
. Теперь эти функции непрерывны во всем замкнутом промежутке 
: их значение в точке а совпадают с пределами (ведь 
и 
при 
), в других же точках непрерывность вытекает из дифференцируемости. К этой паре функций можем применить теорему Коши из §3:
,
где 
. Учитывая, что функции в точке а равны нулю, получим
.
Очевидно, что при и 
. Правая часть последнего равенства имеет при предел 
(по условию теоремы), но тогда и левая часть имеет тот же самый предел.
Замечание 1. Аналогичное утверждение имеет место и для левого предела, а также для пределов на бесконечности, т.е. при 
.
Пример 1. Для 
. Этим пределом доказано, наконец, соотношение 
, то есть 
при 
().
Замечание 2. Если производные 
и 
удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции и , то правило Бернулли-Лопиталя можно применить повторно.
Пример 2. 
.
Нетрудно заметить, что 
.
Другими словами, 
или 
при .
Замечание 3. Правило Бернулли-Лопиталя можно применять только, когда предел отношения производных существует. Например,
,
но 
не существует. Этот пример показывает, что из не-существования нельзя делать вывод о 
.
Замечание 4. Существуют ситуации, в которых применение правила Бернулли-Лопиталя ничего не дает.
Пример 3. 
.
Еще одно применение правила вернет нас к исходному пределу.
III Другие виды неопределенностей.
Еще раз напомним, что правило Бернулли-Лопиталя применимо лишь к неопределенностям вида и . Все остальные неопределенности необходимо сводить к одной из этих двух путем алгебраических преобразований.
А) 
. Так как 
, то эту неопределенность можно свести к или .
Пример 4. Для : 
.
Заметим, что, если иначе преобразовать произведение в частное, то применение правила Бернулли-Лопиталя приводит к усложнению неопределенности: 
.
B) 
. Так как 
,то данная неопреде-ленность сводится к виду . Часто, впрочем, того же удается достигнуть проще.
Пример 5. 
Вычисления можно упростить, если перед первым применением правила использовать эквивалентность 
, 
:
.
С) 
, 
, 
. Так как 
(основное логарифмическое тождество) и 
(непрерывность показательной функции), то неопределенности этих типов сводятся к неопределенности вида .
Пример 6. 
(смотри пример 4).
Пример 7. 
(смотри пример 1).
Замечание 5. Раскрывая неопределенности по правилу Бернулли-Лопиталя, следует использовать и другие методы вычисления пределов: эквивалентности, замена переменной и т.д.
Пример 8. 
(смотри пример 2).
