Основные правила дифференцирования

I. Если , то (производная постоянной функции равна 0).

II. Если , а – дифференцируема в точке x, то (постоянный множитель можно вынести за знак производной).

III–V. Если функции и дифференцируемы в точке x, то их сумма, разность, произведение и частное (если ) также дифференцируемы в этой точке, причем имеют место формулы:

III.

IV.

V.

Докажем, например, формулу дифференцирования частного. Пусть . Тогда:

.

Добавим и вычтем в числителе член , сгруппируем и вынесем за скобки общие множители. Будем иметь:

.

Составим разностное отношение, т.е. отношение приращения функции к приращению аргумента:

.

Теперь перейдем к пределу при . Так как и - дифференцируемы (а, следовательно, непрерывны), то существуют пределы

, , ,

а и от не зависят и выносятся за знаки пределов. Значит, существует предел разностного отношения, т.е.

.

VI. Пусть функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , причем . Тогда и сложная функция дифференцируема в точке и имеет место формула

.

Другие формы записи этой формулы:

, .

Для доказательства придаем аргументу x функции приращение . Оно вызовет приращение этой функции, которое в свою очередь вызовет приращение функции . В силу теоремы 1 §4 из диффе-ренцируемости функций и имеем:

Подставляя первую формулу во вторую, получим для приращения сложной функции:

Сразу отметим, что в силу непрерывности функции (следует из её дифференцируемости) ее приращение стремится к нулю при . Составляем разностное отношение и переходим к пределу

.

Первое слагаемое под знаком предела в правой части – это постоянная. Второе – произведение постоянной на бесконечно малую, ибо по определению символа . Третье слагаемое представим в виде

.

Здесь первый множитель есть бесконечно малая при , а второй имеет конечный предел . Итак, второе и третье слагаемое – это бесконечно малые при . Отсюда и получаем формулу дифференцирования сложной функции.

Замечание 1. Остальные правила дифференцирования приведем позже.