Рассмотрим функцию , определенную на промежутке
, и пусть точка
– внутренняя точка промежутка:
.
Определение 1. Точка называется точкой (локального) максимума функции
, если существует окрестность этой точки, в которой (при
) выполняется неравенство
. Другими словами для малых приращений аргумента
приращение функции
.
Определение 2. Точка называется точкой (локального) минимума функции
, если существует окрестность этой точки, в которой (при
) выполняется неравенство
. Другими словами
при малых
.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Их можно характеризовать следующим образом: приращение функции в точке экстремума имеет постоянный знак, не зависящий от знака (если
достаточно мало).
Теорема Ферма. Если функция дифференцируема в точке
и имеет в этой точке локальный экстремум, то
.
Доказательство. Дифференцируемость означает существование конечного предела
.
Для этого предела имеется три возможности: 1) ; 2)
;
3) . Предположим, что
. Тогда для близких к нулю
разностное отношение
. Если же
, то и
(для малых
). В обоих случаях знак
зависит от знака
. Но по условию теоремы
– это точка экстремума, значит, знак
не зависит от знака
. Это противоречие означает, что
не может быть ни положительным, ни отрицательным. Остается последняя возможность:
.
Замечание 1. Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если в точке графика функции , которой соответствует экстремум функции, существует касательная к графику, то эта касательная параллельная оси Ox.
Замечание 2. Сформулированное в теореме условие является необходимым, но не достаточным. Например, функция
имеет производную
, которая обращается в ноль в точке
. Однако,
.
Выражение в скобках всегда положительно, как неполный квадрат суммы. Следовательно, и в точке
нет экстремума.