Необходимое условие экстремума

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке , и пусть точка – внутренняя точка промежутка: .

Определение 1. Точка называется точкой (локального) максимума функции , если существует окрестность этой точки, в которой (при ) выполняется неравенство . Другими словами для малых приращений аргумента приращение функции .

Определение 2. Точка называется точкой (локального) минимума функции , если существует окрестность этой точки, в которой (при ) выполняется неравенство . Другими словами при малых .

Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Их можно характеризовать следующим образом: приращение функции в точке экстремума имеет постоянный знак, не зависящий от знака (если достаточно мало).

Теорема Ферма. Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то .

Доказательство. Дифференцируемость означает существование конечного предела

.

Для этого предела имеется три возможности: 1) ; 2) ;

3) . Предположим, что . Тогда для близких к нулю разностное отношение . Если же , то и (для малых ). В обоих случаях знак зависит от знака . Но по условию теоремы – это точка экстремума, значит, знак не зависит от знака . Это противоречие означает, что не может быть ни положительным, ни отрицательным. Остается последняя возможность: .

Замечание 1. Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если в точке графика функции , которой соответствует экстремум функции, существует касательная к графику, то эта касательная параллельная оси Ox.

Замечание 2. Сформулированное в теореме условие является необходимым, но не достаточным. Например, функция имеет производную , которая обращается в ноль в точке . Однако,

.

Выражение в скобках всегда положительно, как неполный квадрат суммы. Следовательно, и в точке нет экстремума.