I Степенная функция y=xa
Находим приращение функции и составляем разностное отношение:
Вычислим предел этого разностного отношения, используя эквивалентность для степенной функции 
~ ma при 
:
Итак, имеем
(1)
Замечание 1. Вывод последней формулы предполагает, что 
. Вычис-лим 
(считаем, что 
, следовательно, 
):
.
Величина этого предела зависит от 
: для 
, для 
и для 
. Но этот же результат можно получить из формулы (1) с помощью теоремы 2 §3. Аналогичный результат можно получить и для 
, если a таково, что степенная функция определена для 
.
Замечание 2. Ряд частных случаев формулы (1) лучше запомнить как самостоятельные формулы дифференцирования:
, 
, 
.
II Показательная функция y=ax
.
Итак,
.
Частный случай этой формулы: 
.
III Логарифмическая функция 
Итак,
.
Для логарифмической функции с произвольным основанием используем формулу перехода:
.
Отсюда 
.
Можно предложить и другой способ вычисления 
с использованием основного логарифмического тождества 
. Продифференцировав почленно это тождество, получим:
.
Отсюда и получим .
IV Тригонометрические функции
1. y= sin x
.
(на последнем шаге мы воспользовались непрерывностью косинуса).
Итак,
.
Производные остальных тригонометрических функций можно вычислить, используя определение производной, но проще использовать известные правила дифференцирования и формулы, связывающие тригонометрические функции друг с другом.
2. y= cos x
.
Итак,
.
3. y= tg x
.
Итак,
.
4. y= сtg x.
Аналогично предыдущему можно получить
(ctg 
.
V Обратные тригонометрические функции
Производные этих функций проще всего получить при помощи основного тождества, связывающего пару взаимно обратных функций, а именно: 
.
1. y= arcsin x
Дифференцируем почленно тождество 
:
(напомним, что 
, поэтому 
).
Итак,
.
2. y= arccos x
Известное соотношение 
и предыдущая формула для 
, позволяют получить
.
3. y= arctg x
Итак,
.
4. y= arcctg x
Из соотношения 
, получим 
.
Замечание 3. Покажем на примере 
как можно получать производные аркфункций, исходя из определения производной. Приращение арктангенса 
стремится к 0 при 
(в силу непрерывности функции). Отсюда получаем эквивалентность: при 
Теперь можно легко найти предел разностного отношения:
.
Замечание 4. Производные аркфункций можно получить также, используя общее правило дифференцирования обратной функции, которое будет приведено ниже.
VI Гиперболические и обратные гиперболические функции
Эти функции элементарным образом выражаются через показательную и логарифмическую функции. Поэтому проще всего находить их производные, используя известные правила дифференцирования.
Например:
Производные других функций этой группы студентам предлагается получить самостоятельно.
VII Сводка формул для производных
1. 
, 
, 
, 
.
2. 
, 
.
3. 
, 
.
4. . 5. 
.
6. (tg 
. 7. (ctg 
.
8. . 9. .
10. . 11. .
12. 
. 13. 
.
14. 
. 15. 
.
16. 
.
17. 
.
18. 
.
