Производные основных элементарных функций

I Степенная функция y=x^a

Находим приращение функции и составляем разностное отношение:

Вычислим предел этого разностного отношения, используя эквивалентность для степенной функции ~ ma при :

Итак, имеем

(1)

Замечание 1. Вывод последней формулы предполагает, что . Вычис-лим (считаем, что , следовательно, ):

Величина этого предела зависит от : для , для и для . Но этот же результат можно получить из формулы (1) с помощью теоремы 2 §3. Аналогичный результат можно получить и для , если a таково, что степенная функция определена для .

Замечание 2. Ряд частных случаев формулы (1) лучше запомнить как самостоятельные формулы дифференцирования:

, , .

II Показательная функция y=a^x

.

Итак,

.

Частный случай этой формулы: .

III Логарифмическая функция

Итак,

.

Для логарифмической функции с произвольным основанием используем формулу перехода:

.

Отсюда .

Можно предложить и другой способ вычисления с использованием основного логарифмического тождества . Продифференцировав почленно это тождество, получим:

.

Отсюда и получим .

IV Тригонометрические функции

1. y= sin x

.

(на последнем шаге мы воспользовались непрерывностью косинуса).

Итак,

.

Производные остальных тригонометрических функций можно вычислить, используя определение производной, но проще использовать известные правила дифференцирования и формулы, связывающие тригонометрические функции друг с другом.

2. y= cos x

.

Итак,

.

3. y= tg x

.

Итак,

.

4. y= сtg x.

Аналогично предыдущему можно получить

(ctg .

V Обратные тригонометрические функции

Производные этих функций проще всего получить при помощи основного тождества, связывающего пару взаимно обратных функций, а именно: .

1. y= arcsin x

Дифференцируем почленно тождество :

(напомним, что , поэтому ).

Итак,

.

2. y= arccos x

Известное соотношение и предыдущая формула для , позволяют получить

.

3. y= arctg x

Итак,

.

4. y= arcctg x

Из соотношения , получим

.

Замечание 3. Покажем на примере как можно получать производные аркфункций, исходя из определения производной. Приращение арктангенса стремится к 0 при (в силу непрерывности функции). Отсюда получаем эквивалентность: при Теперь можно легко найти предел разностного отношения:

.

Замечание 4. Производные аркфункций можно получить также, используя общее правило дифференцирования обратной функции, которое будет приведено ниже.

VI Гиперболические и обратные гиперболические функции

Эти функции элементарным образом выражаются через показательную и логарифмическую функции. Поэтому проще всего находить их производные, используя известные правила дифференцирования.

Например:

Производные других функций этой группы студентам предлагается получить самостоятельно.

VII Сводка формул для производных

1. , , , .

2. , .

3. , .

4. . 5. .

6. (tg . 7. (ctg .

8. . 9. .

10. . 11. .

12. . 13. .

14. . 15. .

16. .

17. .

18. .