Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕроизводные основных элементарных функций




I —тепенна€ функци€ y=xa

Ќаходим приращение функции и составл€ем разностное отношение:

¬ычислим предел этого разностного отношени€, использу€ эквивалентность дл€ степенной функции ~ ma при :

»так, имеем

(1)

«амечание 1. ¬ывод последней формулы предполагает, что . ¬ычис-лим (считаем, что , следовательно, ):

.

¬еличина этого предела зависит от : дл€ , дл€ и дл€ . Ќо этот же результат можно получить из формулы (1) с помощью теоремы 2 І3. јналогичный результат можно получить и дл€ , если a таково, что степенна€ функци€ определена дл€ .

«амечание 2. –€д частных случаев формулы (1) лучше запомнить как самосто€тельные формулы дифференцировани€:

, , .

II ѕоказательна€ функци€ y=ax

.

»так,

.

„астный случай этой формулы: .

III Ћогарифмическа€ функци€

»так,

.

ƒл€ логарифмической функции с произвольным основанием используем формулу перехода:

.

ќтсюда .

ћожно предложить и другой способ вычислени€ с использованием основного логарифмического тождества . ѕродифференцировав почленно это тождество, получим:

.

ќтсюда и получим .

IV “ригонометрические функции

1. y= sin x

.

(на последнем шаге мы воспользовались непрерывностью косинуса).

»так,

.

ѕроизводные остальных тригонометрических функций можно вычислить, использу€ определение производной, но проще использовать известные правила дифференцировани€ и формулы, св€зывающие тригонометрические функции друг с другом.

2. y= cos x

.

»так,

.

3. y= tg x

.

»так,

.

4. y= сtg x.

јналогично предыдущему можно получить

(ctg .


V ќбратные тригонометрические функции

ѕроизводные этих функций проще всего получить при помощи основного тождества, св€зывающего пару взаимно обратных функций, а именно: .

1. y= arcsin x

ƒифференцируем почленно тождество :

(напомним, что , поэтому ).

»так,

.

2. y= arccos x

»звестное соотношение и предыдуща€ формула дл€ , позвол€ют получить

.

3. y= arctg x

»так,

.

4. y= arcctg x

»з соотношени€ , получим

.

«амечание 3. ѕокажем на примере как можно получать производные аркфункций, исход€ из определени€ производной. ѕриращение арктангенса стремитс€ к 0 при (в силу непрерывности функции). ќтсюда получаем эквивалентность: при “еперь можно легко найти предел разностного отношени€:

.

«амечание 4. ѕроизводные аркфункций можно получить также, использу€ общее правило дифференцировани€ обратной функции, которое будет приведено ниже.

 

VI √иперболические и обратные гиперболические функции

Ёти функции элементарным образом выражаютс€ через показательную и логарифмическую функции. ѕоэтому проще всего находить их производные, использу€ известные правила дифференцировани€.

Ќапример:

ѕроизводные других функций этой группы студентам предлагаетс€ получить самосто€тельно.

 

VII —водка формул дл€ производных

1. , , , .

2. , .

3. , .

4. . 5. .

6. (tg . 7. (ctg .

8. . 9. .

10. . 11. .

12. . 13. .

14. . 15. .

16. .

17. .

18. .

 

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 988 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—туденческа€ общага - это место, где мен€ научили готовить 20 блюд из макарон и 40 из доширака. ј майонез - это вообще десерт. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

2105 - | 2020 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.015 с.