Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕродолжение). ќсновные правила дифференцировани€




VII Ћогарифмическа€ производна€

ѕусть функци€ положительна и дифференцируема. “огда и функци€ Ц дифференцируема, причем

.

Ёто выражение и называетс€ логарифмической производной функции . ќтсюда легко получить производную самой функции :

.

»спользу€ эту формулу можно получить правило дифференцировани€ сложной степенно-показательной функции:

.

ќкончательно имеем формулу:

.

«амечание 2. ¬ообще говор€, всегда лучше помнить не лишнюю формулу, а приЄм, который приводит к этой формуле. ƒл€ степенно-показательной функции можно предложить прием, использующий основное логарифмическое тождество:

.

ѕримеры.

2.

VIII ƒифференцирование обратной функции

ѕусть функци€ в некоторой окрестности точки Ц непрерывна€ и строго монотонна€, а кроме того, дифференцируема в точке , причем . “огда в некоторой окрестности точки существует обратна€ функци€ , также непрерывна€, строго монотонна€ и дифференцируема€ в точке , причем

. (1)

—трогое доказательство приводить не будем, но дадим геометрическую иллюстрацию. ѕри этом используем тот факт, что у графики взаимно-обратных функций и совпадают, а производна€ Ц это угловой коэффициент касательной.

 
 

,

 

‘ормулу (1) записывают еще в виде или .

ѕрименим последнюю формулу дл€ вычислени€ производной, например, арксинуса:

,

 

IX ƒифференцирование функции, заданной параметрически

ѕусть имеетс€ система параметрических уравнений , , причем функции и дифференцируемы и сохран€ет знак. “огда на области значений функции существует дифференцируема€ функци€ , причем

ƒействительно, из услови€ (или ) следует монотонность функции ; следовательно, у неЄ существует обратна€ . “огда Ц некотора€ функци€ от x. ≈Є производную можно найти, если применить правила дифференцировани€ сложной и обратной функций:

ѕример. 3. —оставим уравнение касательной к эллипсу в точке , соответствующей значению параметра .

 оординаты точки касани€: , . ”гло-

вой коэффициент касательной

.

»скомое уравнение имеет вид: .

«амечание 3. ¬ообще говор€, производна€ функции, заданной параметрически, есть функци€, заданна€ параметрически. ћетодически более правильным было бы писать такую производную в виде системы параметрических уравнений:

X ƒифференцирование функции, заданной не€вно

ѕри некоторых услови€х, которые будут сформулированы в теме У‘ункции нескольких переменныхФ, уравнение с двум€ переменными вида определ€ет y как функцию от x: . ƒругими словами, существует функци€ , обращающа€ уравнение в тождество. ѕроизводную этой функции можно найти (в не€вном же виде), не наход€ самой функции. “очные формулы будут даны позже, а сейчас сформулируем правило:

тождество дифференцируем по x, не забыва€, что y Ц это функци€ от x; затем из полученного равенства находим .

ѕримеры. 4. ƒано: . ƒифференцируем по x обе части:

. .

5. ¬ыведем уравнение касательной к эллипсу , проход€щей через его точку . Ќайдем угловой коэффициент касательной. ƒл€ этого уравнение эллипса дифференцируем по x, не забыва€, что :

.

¬ общее уравнение касательной подставим найденный коэффициент и преобразуем уравнение:

.

“ак как точка принадлежит эллипсу, то права€ часть полученного уравнени€ равна 1. —ледовательно, искома€ касательна€ имеет уравнение

.

 

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 543 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ћюди избавились бы от половины своих непри€тностей, если бы договорились о значении слов. © –ене ƒекарт
==> читать все изречени€...

2277 - | 2080 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.011 с.