Продолжение). Основные правила дифференцирования

VII Логарифмическая производная

Пусть функция положительна и дифференцируема. Тогда и функция – дифференцируема, причем

.

Это выражение и называется логарифмической производной функции . Отсюда легко получить производную самой функции :

.

Используя эту формулу можно получить правило дифференцирования сложной степенно-показательной функции:

.

Окончательно имеем формулу:

.

Замечание 2. Вообще говоря, всегда лучше помнить не лишнюю формулу, а приём, который приводит к этой формуле. Для степенно-показательной функции можно предложить прием, использующий основное логарифмическое тождество:

.

Примеры.

2.

VIII Дифференцирование обратной функции

Пусть функция в некоторой окрестности точки – непрерывная и строго монотонная, а кроме того, дифференцируема в точке , причем . Тогда в некоторой окрестности точки существует обратная функция , также непрерывная, строго монотонная и дифференцируемая в точке , причем

. (1)

Строгое доказательство приводить не будем, но дадим геометрическую иллюстрацию. При этом используем тот факт, что у графики взаимно-обратных функций и совпадают, а производная – это угловой коэффициент касательной.

,

 

Формулу (1) записывают еще в виде или .

Применим последнюю формулу для вычисления производной, например, арксинуса:

,

 

IX Дифференцирование функции, заданной параметрически

Пусть имеется система параметрических уравнений , , причем функции и дифференцируемы и сохраняет знак. Тогда на области значений функции существует дифференцируемая функция , причем

Действительно, из условия (или ) следует монотонность функции ; следовательно, у неё существует обратная . Тогда – некоторая функция от x. Её производную можно найти, если применить правила дифференцирования сложной и обратной функций:

Пример. 3. Составим уравнение касательной к эллипсу в точке , соответствующей значению параметра .

Координаты точки касания: , . Угло-

вой коэффициент касательной

.

Искомое уравнение имеет вид: .

Замечание 3. Вообще говоря, производная функции, заданной параметрически, есть функция, заданная параметрически. Методически более правильным было бы писать такую производную в виде системы параметрических уравнений:

X Дифференцирование функции, заданной неявно

При некоторых условиях, которые будут сформулированы в теме “Функции нескольких переменных”, уравнение с двумя переменными вида определяет y как функцию от x: . Другими словами, существует функция , обращающая уравнение в тождество. Производную этой функции можно найти (в неявном же виде), не находя самой функции. Точные формулы будут даны позже, а сейчас сформулируем правило:

тождество дифференцируем по x, не забывая, что y – это функция от x; затем из полученного равенства находим .

Примеры. 4. Дано: . Дифференцируем по x обе части:

. .

5. Выведем уравнение касательной к эллипсу , проходящей через его точку . Найдем угловой коэффициент касательной. Для этого уравнение эллипса дифференцируем по x, не забывая, что :

.

В общее уравнение касательной подставим найденный коэффициент и преобразуем уравнение:

.

Так как точка принадлежит эллипсу, то правая часть полученного уравнения равна 1. Следовательно, искомая касательная имеет уравнение

.