Производные высших порядков

I Определение и обозначения

Если функция дифференцируема на некотором промежутке, то её производная сама является функцией, определенной на этом промежутке. Следовательно, по отношению к ней можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной. Если она существует, то её называют второй производной (или производной 2^го порядка), и обозначают одним из символов

Аналогично, если существует производная от второй производной, то её называют третьей производной и обозначают, например, .

Вообще, производной n -го порядка называют производную от производной (n– 1)-го порядка и обозначают . Итак, по определению

II Производные некоторых функций

1. y= sin x, y= cos x

Первые производные этих функций и формулы приведения позволяют методом математической индукции получить выражения для производных n -го порядка:

.

2. y=x^a

Если , то, последовательно дифференцируя, получим , , и вообще:

.

Если же показатель степени натуральный, то:

3. y=a^x

, в частности, , .

4. y= ln x

,

.