Дифференцируемость функции

Определение. Говорят, что функция дифференцируема в точке x ₀, если ее приращение можно представить в виде

(1)

где A – некоторое число, не зависящее от .

Теорема 1. Для того, чтобы функция , была дифференцируемой в точке x ₀, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. Необходимость. Пусть дифференцируема. Разделим обе части равенства (1) на :

.

Переходя к пределу при , получим

,

т.е. в точке x ₀ существует производная и она равна A: .

Достаточность. Пусть существует конечная производная .

Тогда и, следовательно,

.

В этом соотношении нетрудно увидеть равенство (1). Теорема доказана.

Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование конечной производной – понятия равносильные.

Формулу

называют формулой бесконечно малых приращений.

Между понятиями дифференцируемости и непрерывности существует связь, устанавливаемая следующей теоремой.

Теорема 2. Если функция дифференцируема в точке x ₀, то она и непрерывна в этой точке.

Действительно из формулы (1) следует, что , а это и есть одно из определений непрерывности.

Естественно возникает вопрос о том, справедливо ли утверждение, обратное теореме 2, т.е. “непрерывная функция дифференцируема”. На этот вопрос следует дать отрицательный ответ: существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не дифференцируемые в данной точке. Примером может служить функция из примера 2 §3: . Она непрерывна в нуле, но не существует.

Приведем еще один пример такой функции.

Пример 1.

Данная функция – неэлементарная, возможная точка разрыва (в этой точке одно элементарное выражение меняется на другое). Но

,

следовательно, непрерывна в точке . Найдем производную функции в нуле (по определению!):

.

Но нам уже известно, что, когда аргумент синуса стремится в ¥, синус предела не имеет. Итак, не существует, т.е. недифференцируема в нуле.

Отметим, что математиками построены примеры функций, непрерывных на некотором промежутке, но не имеющих производной ни в одной точке этого промежутка.

 

 

Лекция 9