Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Дифференцируемость функции




Определение. Говорят, что функция дифференцируема в точке x 0, если ее приращение можно представить в виде

(1)

где A – некоторое число, не зависящее от .

Теорема 1. Для того, чтобы функция , была дифференцируемой в точке x 0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. Необходимость. Пусть дифференцируема. Разделим обе части равенства (1) на :

.

Переходя к пределу при , получим

,

т.е. в точке x 0 существует производная и она равна A: .

Достаточность. Пусть существует конечная производная .

Тогда и, следовательно,

.

В этом соотношении нетрудно увидеть равенство (1). Теорема доказана.

Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование конечной производной – понятия равносильные.

Формулу

называют формулой бесконечно малых приращений.

Между понятиями дифференцируемости и непрерывности существует связь, устанавливаемая следующей теоремой.

Теорема 2. Если функция дифференцируема в точке x 0, то она и непрерывна в этой точке.

Действительно из формулы (1) следует, что , а это и есть одно из определений непрерывности.

Естественно возникает вопрос о том, справедливо ли утверждение, обратное теореме 2, т.е. “непрерывная функция дифференцируема”. На этот вопрос следует дать отрицательный ответ: существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не дифференцируемые в данной точке. Примером может служить функция из примера 2 §3: . Она непрерывна в нуле, но не существует.

Приведем еще один пример такой функции.

Пример 1.

Данная функция – неэлементарная, возможная точка разрыва (в этой точке одно элементарное выражение меняется на другое). Но

,

следовательно, непрерывна в точке . Найдем производную функции в нуле (по определению!):

.

Но нам уже известно, что, когда аргумент синуса стремится в ¥, синус предела не имеет. Итак, не существует, т.е. недифференцируема в нуле.

Отметим, что математиками построены примеры функций, непрерывных на некотором промежутке, но не имеющих производной ни в одной точке этого промежутка.

 

 

Лекция 9





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-07; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1234 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Свобода ничего не стоит, если она не включает в себя свободу ошибаться. © Махатма Ганди
==> читать все изречения...

2307 - | 2069 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.008 с.