I Бесконечные производные
Определение 1. Говорят, что функция 
имеет в точке x 0 бесконечную производную, если
.
При этом пишут 
или 
.
Пример 1. 
, 
:
.
II Односторонние производные
Определение 2. Правая 
и левая 
производные функции в точке x 0, определяются равенствами:
и 
.
Из общих теорем о пределах можно получить такую теорему.
Теорема 1. Функция имеет в точке x 0 производную тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные друг другу односторонние производные.
Пример 2. Для функции 
найти правую и левую производную в нуле.
,
.
Так как 
, то 
не существует.
Следующая теорема позволяет в некоторых случаях упростить вычисление односторонних производных.
Теорема 2. Пусть функция имеет в интервале 
конечную производную 
, причем, существует (конечный или нет) 
. Тогда в точке x 0 существует правая производная и 
.
Аналогичное утверждение имеет место и для левой производной.
В §2 была вычислена производная функции для 
: 
. Результат примера 1 (
) с помощью теоремы 2 получается моментально:
.
Аналогично получается и 
. Совпадение односторонних производных означает, что и 
.
Замечание. Если у функции существуют конечные, не равные друг другу производные и , то у графика функции имеются не совпадающие правая и левая касательные в точке 
. Такая точка графика называется угловой. Если же производная (хотя бы односторонняя) равна +¥ или 
, то это означает, что у графика имеется вертикальная касательная.
