Задачи, приводящие к понятию производной

I Задача о касательной

Определение. Касательной к линии L в ее точке М ₀ называется предельное положение секущей M ₀ M, когда точка M вдоль линии L стремится произвольным образом к совпадению с точкой M ₀.

Чтобы придать математическую строгость этому определению, будем считать, что линия L – это график некоторой функции .

Пусть – фиксированная точка графика, а –текущая точка. Обозначим . Стремление точки M к М ₀ равносильно или . Через точку М ₀ проходит много прямых, все они отличаются друг от друга угловыми коэффициентами. Касательная к графику в точке М ₀ – это та прямая, угловой коэффициент которой есть предел углового коэффициента

секущей M ₀ M при :

II Задача о скорости

Пусть по прямой, на которой выбраны начало отсчета, единица измерения и направление, движется точка по закону ( – это координата точки на прямой в момент времени t). Важной характеристикой движения является скорость. Для равномерного движения (т.е. движения с постоянной скоростью) можно взять произвольный промежуток времени и разделить пройденный путь на длительность промежутка времени, т.е. на . Именно потому, что скорость постоянная, полученный ответ не будет зависеть ни от , ни от .

В общем случае движения с переменной скоростью отношение есть не что иное как средняя скорость движения за промежуток . Средняя скорость тем лучше характеризует движение, чем меньше длительность . Устремляя к нулю, мы и получим мгновенную скорость .

Замечание. Две различные задачи, рассмотренные выше, привели в процессе решения к одному и тому же результату – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю. Имеется много задач в самой математике и в ее приложениях, которые приводят к необходимости вычисления таких пределов.