Теорема Пойнтинга (Закон сохранения энергии электромагнитных волн в форме уравнения непрерывности)

 

 

Будем рассматривать случай вакуума. Уравнения Максвелла для электромагнитных волн в вакууме имеют вид:

Далее значок будет означать, что оператор действует на .

Умножим третье уравнение на , а четвёртое на скалярно. Тогда:

Тогда:

 

 

(*)

(**)

Вычтем из (*) – (**), тогда получим:

, следовательно

Введём обозначение - объёмная плотность в СГС. И введём вектор Пойнтинга.

- плотность потока энергии электромагнитного поля.

- в СГС.

Тогда

- уравнение непрерывности

В случае среды

Если проинтегрировать по объёму, то:

(***)

По теореме Остроградского-Гаусса:

- энергия электромагнитного поля, заключенная в объём с поверхностью .

Тогда (***) перепишется в виде:

Если это выражение поделить на площадь , то получим, что - это энергия, переносимая в единицу времени через единицу поверхности. Физическое содержание этого уравнения – закон сохранения энергии.

Если рассматривать объём и если угол между нормалью и острый, то интеграл , т.е. происходит вытекание энергии из объёма . В этом случае

Т.е. происходит убывание в замкнутом объёме за счёт переноса её через поверхность объёма во вне.