1–10. Найти общее решение (или общий интеграл) данных дифференциальных уравнений первого порядка:
1. а)
2ху¢ + у2 = 1;
æ y ö
б) ху¢ = у ln ç ÷ ;
è x ø
в) ху¢ = x - у + 1 .
2. а)
y2 у¢ + 2x = 1 + x2 ;
б) ху¢ - у =
х2 + у2 ;
в) (1 - х2)у¢ - 2xу = 1 + x2 .
3. а)
б)
в)
у¢ + xу = xу2 ;
у2 - 4ху + 4х2 у¢ = 0 ;
х (х - 1)у¢ + 2xу = 1.
4. а)
х2 у¢ + у2 = 1 ;
б) у¢ =
| |
х2 х
+ 6 ;
в)
5. а)
у¢ - 3у = х .
х
ху¢ + у = у2 ;
б) у¢ =
у - 2х ;
х + у
в) ху¢ -
у
х + 1
= х .
6. а)
б)
у¢ - ху2 = 2ху ;
у¢ = х + у ;
у х
в) у¢ - у = (2х - 3)ех .
7. а)
ху¢ + у - 3 = 0 ;
б) у¢ =
у - 3х ;
х + 3у
в) 2ху¢ - у = 3х2 .
8. а)
б)
в)
9. а)
б)
у¢ = 3х2 у - х2 ;
у
ху¢ + хе х - у = 0 ;
х2 у¢ - 2ху = 3 .
уу¢ = 1 - 2х ;
ху
х2 у¢ + у 2 - 2ху = 0 ;
в) у¢ - у tg x =
1 .
cos х
10. а)
б)
(1 + х2)у¢ = ху + xy2 ;
х2 у¢ = у2 + ху ;
в) у¢ + 2
у = х2 + 2х .
х
11–20. Найти частное решение данного дифференциально- го уравнения первого порядка, удовлетворяющее данному на- чальному условию:
11.
ху¢ - 2
ху = у ,
4
у(1) = 1 .
12.
13.
у¢ + 4х3 у = х3е- х × у2 ,
уу¢ + у2ctg x = cos x ,
у(0) = 8 .
у ç π ÷ = 1.
æ ö
14.
2ху¢ - у =
3x2
,
y
è 2 ø
у(1) = 2 .
15.
х2 у¢ - 2 xy = у2 ,
у(1) = -1.
16.
ху¢ - 4 у = х2 у ,
у(1) = 1 .
17.
2ху¢ - 3у = -(20х2 + 12) у3 ,
у(1) = 1 .
2 2
18.
у¢ - у tg x + у2 cos x = 0 ,
у(0) = 1.
19.
2ху¢ - у = - 1 ,
хy
х 2
у(2) = 1 .
2
20.
у¢ + ху = 2xе- 2
у2 ,
у(0) = 1.
21 – 23. Найти общее решение дифференциального урав- нения второго порядка:
21.
22.
23.
24.
25.
26.
(1 + у) у¢ - 5 × ( у¢)2 = 0 .
(1 - х2 ) у¢ = ху¢ .
у¢ × tg y = 2(у¢)2 .
ху¢ + y¢ = х + 1 .
( у¢)2 + 2 у × y¢ = 0 .
ху¢ - y¢ + 1 = 0 .
х
27.
у¢ = -2
у¢ + х2 .
х
28.
29.
30.
1 + ( у¢)2 + у × y¢ = 0 .
х4 у¢ + х3 y¢ = 4 .
( х2 + 1)у¢ + 2хy¢ = х3 .
31-40. Найти частное решение дифференциального урав- нения второго порядка с постоянными коэффициентами с пра- вой частью специального вида, удовлетворяющее данным на- чальным условиям:
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
у¢ - 4 у¢ + 13у = 26х2 - 3х ,
у¢ + 2 у¢ = -2ех (sin x + cos x) ,
у¢ + 5 у¢ + 6 у = 12 cos 2 х ,
у¢ + 4 у¢ - 12 у = 8 sin 2х ,
у¢ + у¢ - 2 у = ex (2х + 2) ,
у¢ - 5 у¢ = 15х2 + 4х ,
у¢ - 4 у¢ + 5у = ex × х ,
у(0) = 1,
у(0) = 0 ,
у(0) = 1,
у(0) = 0 ,
у(0) = 2 ,
у(0) = 1,
у(0) = 1 ,
у¢(0) = 0 .
у¢(0) = 0 .
у¢(0) = 3 .
у¢(0) = 0 .
у¢(0) = -1 .
у¢(0) = - 2 .
у¢(0) = 0 .
38.
39.
40.
у¢ - 2 у¢ + у = e2 x ( х - 1) ,
у¢ + 2 у¢ + 5у = 10х2 - 7х + 8 ,
у¢ - 4 у¢ + 3у = 2ex ,
у(0) = -2 ,
у(0) = 0 ,
у(0) = 2 ,
у¢(0) = 0 .
у¢(0) = 0 .
у¢(0) = 1 .
41–50. Найти общее решение системы линейных диффе- ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами путем сведения ее к одному уравнению второго порядка:
41.
ì dx = 4x + 6 y,
ï dt
í dy
42.
ì dx = -5x - 4 y,
ï dt
í dy
ï
î dt
= 4x + 2 y .
ï
î dt
= -2x - 3y .
43.
ì dx = 3x + y,
ï dt
í dy
44.
ì dx = 6x + 3y,
ï dt
í dy
ï
î dt
= 8x + y .
ï
î dt
= -8x - 5y .
45.
ì dx = - x + 5 y,
ï dt
í dy
46.
ì dx = 3x - 2 y,
ï dt
í dy
ï
î dt
= x + 3y .
ï
î dt
= 2x + 8 y .
47.
ì dx = -4x - 6 y,
ï dt
í dy
48.
ì dx = -5x - 8 y,
ï dt
í dy
ï
î dt
= -4x - 2 y .
ï
î dt
= -3x - 3y .
49.
ì dx = - x - 5y,
ï dt
í dy
50.
ì dx = -7x + 5 y,
ï dt
í dy
ï
î dt
= -7x - 3y .
ï
î dt
= 4x - 8 y .