1–10. Найти общее решение (или общий интеграл) данных дифференциальных уравнений первого порядка:
1. а)
2 ху ¢ + у 2 = 1;
æ y ö
б) ху ¢ = у ln ç ÷;
è x ø
в) ху ¢ = x - у + 1.
2. а)
y 2 у ¢ + 2 x = 1 + x 2;
б) ху ¢ - у =
х 2 + у 2;
в) (1 - х 2) у ¢ - 2 xу = 1 + x 2.
3. а)
б)
в)
у ¢ + xу = xу 2;
у 2 - 4 ху + 4 х 2 у ¢ = 0;
х (х - 1) у ¢ + 2 xу = 1.
4. а)
х 2 у ¢ + у 2 = 1;
б) у ¢ =
х 2 х
+ 6;
в)
5. а)
у ¢ - 3 у = х.
х
ху ¢ + у = у 2;
б) у ¢ =
у - 2 х;
х + у
в) ху ¢ -
у
х + 1
= х.
6. а)
б)
у ¢ - ху 2 = 2 ху;
у ¢ = х + у;
у х
в) у ¢ - у = (2 х - 3) ех.
7. а)
ху ¢ + у - 3 = 0;
б) у ¢ =
у - 3 х;
х + 3 у
в) 2 ху ¢ - у = 3 х 2.
8. а)
б)
в)
9. а)
б)
у ¢ = 3 х 2 у - х 2;
у
ху ¢ + хе х - у = 0;
х 2 у ¢ - 2 ху = 3.
уу ¢ = 1 - 2 х;
ху
х 2 у ¢ + у 2 - 2 ху = 0;
в) у ¢ - у tg x =
1.
cos х
10. а)
б)
(1 + х 2) у ¢ = ху + xy 2;
х 2 у ¢ = у 2 + ху;
в) у ¢ + 2
у = х 2 + 2 х.
х
11–20. Найти частное решение данного дифференциально- го уравнения первого порядка, удовлетворяющее данному на- чальному условию:
11.
ху ¢ - 2
ху = у,
4
у (1) = 1.
12.
13.
у ¢ + 4 х 3 у = х 3 е - х × у 2,
уу ¢ + у 2ctg x = cos x,
у (0) = 8.
у ç π ÷ = 1.
æ ö
14.
2 ху ¢ - у =
3 x 2
,
y
è 2 ø
у (1) = 2.
15.
х 2 у ¢ - 2 xy = у 2,
у (1) = -1.
16.
ху ¢ - 4 у = х 2 у,
у (1) = 1.
17.
2 ху ¢ - 3 у = -(20 х 2 + 12) у 3,
у (1) = 1.
2 2
18.
у ¢ - у tg x + у 2 cos x = 0,
у (0) = 1.
19.
2 ху ¢ - у = - 1,
хy
х 2
у (2) = 1.
2
20.
у ¢ + ху = 2 xе- 2
у 2,
у (0) = 1.
21 – 23. Найти общее решение дифференциального урав- нения второго порядка:
21.
22.
23.
24.
25.
26.
(1 + у) у ¢ - 5 × (у ¢)2 = 0.
(1 - х 2) у ¢ = ху ¢.
у ¢ × tg y = 2(у ¢)2.
ху ¢ + y ¢ = х + 1.
(у ¢)2 + 2 у × y ¢ = 0.
ху ¢ - y ¢ + 1 = 0.
х
27.
у ¢ = -2
у ¢ + х 2.
х
28.
29.
30.
1 + (у ¢)2 + у × y ¢ = 0.
х 4 у ¢ + х 3 y ¢ = 4.
(х 2 + 1 )у ¢ + 2 хy ¢ = х 3.
31-40. Найти частное решение дифференциального урав- нения второго порядка с постоянными коэффициентами с пра- вой частью специального вида, удовлетворяющее данным на- чальным условиям:
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
у ¢ - 4 у ¢ + 13 у = 26 х 2 - 3 х,
у ¢ + 2 у ¢ = -2 ех (sin x + cos x),
у ¢ + 5 у ¢ + 6 у = 12 cos 2 х,
у ¢ + 4 у ¢ - 12 у = 8 sin 2 х,
у ¢ + у ¢ - 2 у = ex (2 х + 2),
у ¢ - 5 у ¢ = 15 х 2 + 4 х,
у ¢ - 4 у ¢ + 5 у = ex × х,
у (0) = 1,
у (0) = 0,
у (0) = 1,
у (0) = 0,
у (0) = 2,
у (0) = 1,
у (0) = 1,
у ¢(0) = 0.
у ¢(0) = 0.
у ¢(0) = 3.
у ¢(0) = 0.
у ¢(0) = -1.
у ¢(0) = - 2.
у ¢(0) = 0.
38.
39.
40.
у ¢ - 2 у ¢ + у = e 2 x (х - 1),
у ¢ + 2 у ¢ + 5 у = 10 х 2 - 7 х + 8,
у ¢ - 4 у ¢ + 3 у = 2 ex,
у (0) = -2,
у (0) = 0,
у (0) = 2,
у ¢(0) = 0.
у ¢(0) = 0.
у ¢(0) = 1.
41–50. Найти общее решение системы линейных диффе- ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами путем сведения ее к одному уравнению второго порядка:
41.
ì dx = 4 x + 6 y,
ï dt
í dy
42.
ì dx = -5 x - 4 y,
ï dt
í dy
ï
î dt
= 4 x + 2 y.
ï
î dt
= -2 x - 3 y.
43.
ì dx = 3 x + y,
ï dt
í dy
44.
ì dx = 6 x + 3 y,
ï dt
í dy
ï
î dt
= 8 x + y.
ï
î dt
= -8 x - 5 y.
45.
ì dx = - x + 5 y,
ï dt
í dy
46.
ì dx = 3 x - 2 y,
ï dt
í dy
ï
î dt
= x + 3 y.
ï
î dt
= 2 x + 8 y.
47.
ì dx = -4 x - 6 y,
ï dt
í dy
48.
ì dx = -5 x - 8 y,
ï dt
í dy
ï
î dt
= -4 x - 2 y.
ï
î dt
= -3 x - 3 y.
49.
ì dx = - x - 5 y,
ï dt
í dy
50.
ì dx = -7 x + 5 y,
ï dt
í dy
ï
î dt
= -7 x - 3 y.
ï
î dt
= 4 x - 8 y.
