Основные понятия
5.1. Дифференциальным уравнением второго порядка на- зывается соотношение, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию у (х) и ее первую и вторую производ- ные. Оно имеет вид
F (x, y, y ¢, y ¢) = 0
или, если оно разрешимо относительно у ²,
y ¢ =
f (x, y, y ¢). (5.1)
5.2. Общим решением дифференциального уравнения вто- рого порядка называется функция
у = j(х, с 1, с 2),
содержащая две произвольные постоянные с 1 и с 2 такие, что если заданы начальные условия
у (х 0) = у 0 и
~
у ¢(х 0) = у 0¢,
~
то найдутся такие значения
с 1 и
с 2, что функция
у = j(х, ~ с, с ~)
1 2
будет являться решением данного дифференциального уравне- ния, удовлетворяющим этим начальным условиям.
5.3. Любое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных с 1 и с 2, назы- вается частным решением дифференциального уравнения.
5.4. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (5.1) формулируется так:
Если функция
f (x, y, y ¢)
и ее частные производные по у
и у ¢ непрерывны в некоторой области, содержащей
х = х 0,
у = у 0,
у ¢ = у 0¢, то существует единственное решение
у = у (х),
удовлетворяющее условиям
у (х 0) = у 0,
у ¢(х 0) = у 0¢.
5.5. Типы дифференциального уравнения второго порядка,
допускающие понижение порядка.
I тип. Уравнение имеет вид
у ¢ =
f (x).
Общее решение находится путем двукратного интегрирования следующим образом:
у ¢ = dy ¢,
dx
y ¢ = ò f (x) dx + c 1,
у ¢ = dy,
y = ò (ò f (x) dx) dx + c x + c.
dx 1 2
II тип. Уравнение не содержит явным образом искомой функции у (х):
у ¢ =
f (x, y ¢).
Порядок уравнения понижается на единицу
заменой
у ¢ = z (x). Так как
у ¢ = z ¢, то получим
уравнение первого порядка относительно z (х):
z ¢ =
f (x, z).
III тип. Уравнение не содержит явным образом независимой переменной х:
у ¢ =
f (у, y ¢).
Порядок уравнения понижается на единицу
с помощью подстановки
у ¢ = z (у). В этом случае
у ¢ = dz
dy = dz z, и уравнение примет вид
dy dx
dy
z dz =
dy
f (y, z).
