Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ƒифференциальные уравнени€ второго пор€дка




ќсновные пон€ти€

 

5.1. ƒифференциальным уравнением второго пор€дка на- зываетс€ соотношение, св€зывающее независимую переменную х, неизвестную функцию у (х) и ее первую и вторую производ- ные. ќно имеет вид

F (x, y, y ¢, y ¢) = 0

или, если оно разрешимо относительно у ²,


y ¢ =


f (x, y, y ¢). (5.1)


5.2. ќбщим решением дифференциального уравнени€ вто- рого пор€дка называетс€ функци€

у = j(х, с 1, с 2),

содержаща€ две произвольные посто€нные с 1 и с 2 такие, что если заданы начальные услови€


у (х 0) = у 0 и

~


у ¢(х 0) = у 0¢,

~


то найдутс€ такие значени€


с 1 и


с 2, что функци€


у = j(х, ~ с, с ~)

1 2

будет €вл€тьс€ решением данного дифференциального уравне- ни€, удовлетвор€ющим этим начальным услови€м.

5.3. Ћюбое решение, получаемое из общего решени€ при конкретных значени€х произвольных посто€нных с 1 и с 2, назы- ваетс€ частным решением дифференциального уравнени€.

5.4. “еорема существовани€ и единственности решени€ дифференциального уравнени€ (5.1) формулируетс€ так:


≈сли функци€


f (x, y, y ¢)


и ее частные производные по у


и у ¢ непрерывны в некоторой области, содержащей


х = х 0,


у = у 0,


у ¢ = у 0¢, то существует единственное решение


у = у (х),


удовлетвор€ющее услови€м

у (х 0) = у 0,


 

у ¢(х 0) = у 0¢.


5.5. “ипы дифференциального уравнени€ второго пор€дка,

допускающие понижение пор€дка.


I тип. ”равнение имеет вид


у ¢ =


f (x).


ќбщее решение находитс€ путем двукратного интегрировани€ следующим образом:


у ¢ = dy ¢,

dx


 

y ¢ = ò f (x) dx + c 1,


у ¢ = dy,


 

y = ò (ò f (x) dx) dx + c x + c.


dx 1 2

II тип. ”равнение не содержит €вным образом искомой функции у (х):


у ¢ =


f (x, y ¢).


ѕор€док уравнени€ понижаетс€ на единицу


заменой


у ¢ = z (x). “ак как


у ¢ = z ¢, то получим


уравнение первого пор€дка относительно z (х):


z ¢ =


f (x, z).


III тип. ”равнение не содержит €вным образом независимой переменной х:


у ¢ =


f (у, y ¢).


ѕор€док уравнени€ понижаетс€ на единицу


с помощью подстановки


у ¢ = z (у). ¬ этом случае


у ¢ = dz


dy = dz z, и уравнение примет вид


dy dx


dy

z dz =

dy


 

 

f (y, z).


 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-01-25; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 468 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

ƒаже страх см€гчаетс€ привычкой. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

531 - | 401 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.009 с.