Дифференциальные уравнения второго порядка

Основные понятия

5.1.Дифференциальным уравнением второго порядка на- зывается соотношение, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию у (х) и ее первую и вторую производ- ные. Оно имеет вид

F (x, y, y¢, y¢ ) = 0

или, если оно разрешимо относительно у²,

y¢ =

f ( x, y, y¢) . (5.1)

5.2.Общим решением дифференциального уравнения вто- рого порядка называется функция

у = j(х,с1, с2 ) ,

содержащая две произвольные постоянные с1 и с2 такие, что если заданы начальные условия

у(х0 ) = у0 и

~

у¢(х0 ) = у0¢ ,

~

то найдутся такие значения

с1 и

с2 , что функция

у = j(х, ~с , с~ )

1 2

будет являться решением данного дифференциального уравне- ния, удовлетворяющим этим начальным условиям.

5.3.Любое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных с1 и с2, назы- вается частным решением дифференциального уравнения.

5.4.Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (5.1) формулируется так:

Если функция

f (x, y, y¢)

и ее частные производные по у

и у¢ непрерывны в некоторой области, содержащей

х = х0 ,

у = у0 ,

у¢ = у0¢ , то существует единственное решение

у = у(х) ,

удовлетворяющее условиям

у(х0) = у0 ,

у¢(х0) = у0¢ .

5.5.Типы дифференциального уравнения второго порядка,

допускающие понижение порядка.

I тип.Уравнение имеет вид

у¢ =

f (x) .

Общее решение находится путем двукратного интегрирования следующим образом:

у¢ = dy¢ ,

dx

y¢ = ò f ( x)dx + c1 ,

у¢ = dy ,

y = ò (ò f ( x)dx)dx + c x + c .

dx 1 2

II тип.Уравнение не содержит явным образом искомой функции у (х):

у¢ =

f (x, y¢) .

Порядок уравнения понижается на единицу

заменой

у¢ = z(x) . Так как

у¢ = z¢ , то получим

уравнение первого порядка относительно z (х):

z¢ =

f (x, z) .

III тип.Уравнение не содержит явным образом независимой переменной х:

у¢ =

f ( у, y¢) .

Порядок уравнения понижается на единицу

с помощью подстановки

у¢ = z(у) . В этом случае

у¢ = dz

dy = dz z , и уравнение примет вид

dy dx

dy

z dz =

dy

f ( y, z) .

Дата добавления: 2015-01-25; просмотров: 369 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов

Читайте также:

Если поместить растение корнями в подсоленную воду, то через некоторое время оно завянет. Объясните почему

ПОЧЕМУ МОГУТ ВОЗНИКНУТЬ ССОРЫ МЕЖДУ СУПРУГАМИ, В ТО ВРЕМЯ КАК ИХ ОТНОШЕНИЯ КАЖУТСЯ ПРОЧНЫМИ

Почему все попытки создания мегагосударств XX столетия провалились

Знаете ли вы? Почему вы не становитесь копией своей матери

Рекомендуемый контект:

Поиск на сайте:

© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление