Дифференциальные уравнения второго порядка
Лекции.Орг

Поиск:


Дифференциальные уравнения второго порядка




Основные понятия

 

5.1.Дифференциальным уравнением второго порядка на- зывается соотношение, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию у (х) и ее первую и вторую производ- ные. Оно имеет вид

F (x, y, y¢, y¢ ) = 0

или, если оно разрешимо относительно у²,


y¢ =


f ( x, y, y¢) . (5.1)


5.2.Общим решением дифференциального уравнения вто- рого порядка называется функция

у = j(х,с1, с2 ) ,

содержащая две произвольные постоянные с1 и с2 такие, что если заданы начальные условия


у(х0 ) = у0 и

~


у¢(х0 ) = у0¢ ,

~


то найдутся такие значения


с1 и


с2 , что функция


у = j(х, ~с , с~ )

1 2

будет являться решением данного дифференциального уравне- ния, удовлетворяющим этим начальным условиям.

5.3.Любое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных с1 и с2, назы- вается частным решением дифференциального уравнения.

5.4.Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (5.1) формулируется так:


Если функция


f (x, y, y¢)


и ее частные производные по у


и у¢ непрерывны в некоторой области, содержащей


х = х0 ,


у = у0 ,


у¢ = у0¢ , то существует единственное решение


у = у(х) ,


удовлетворяющее условиям

у(х0) = у0 ,


 

у¢(х0) = у0¢ .


5.5.Типы дифференциального уравнения второго порядка,

допускающие понижение порядка.


I тип.Уравнение имеет вид


у¢ =


f (x) .


Общее решение находится путем двукратного интегрирования следующим образом:


у¢ = dy¢ ,

dx


 

y¢ = ò f ( x)dx + c1 ,


у¢ = dy ,


 

y = ò (ò f ( x)dx)dx + c x + c .


dx 1 2

II тип.Уравнение не содержит явным образом искомой функции у (х):


у¢ =


f (x, y¢) .


Порядок уравнения понижается на единицу


заменой


у¢ = z(x) . Так как


у¢ = z¢ , то получим


уравнение первого порядка относительно z (х):


z¢ =


f (x, z) .


III тип.Уравнение не содержит явным образом независимой переменной х:


у¢ =


f ( у, y¢) .


Порядок уравнения понижается на единицу


с помощью подстановки


у¢ = z(у) . В этом случае


у¢ = dz


dy = dz z , и уравнение примет вид


dy dx


dy

z dz =

dy


 

 

f ( y, z) .


 





Дата добавления: 2015-01-25; просмотров: 353 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:



© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.003 с.