![]() Поиск: Рекомендуем: ![]() ![]() ![]() ![]() Категории: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Дифференциальные уравнения второго порядкаОсновные понятия
5.1.Дифференциальным уравнением второго порядка на- зывается соотношение, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию у (х) и ее первую и вторую производ- ные. Оно имеет вид F (x, y, y¢, y¢ ) = 0 или, если оно разрешимо относительно у², y¢ = f ( x, y, y¢) . (5.1) 5.2.Общим решением дифференциального уравнения вто- рого порядка называется функция у = j(х,с1, с2 ) , содержащая две произвольные постоянные с1 и с2 такие, что если заданы начальные условия у(х0 ) = у0 и ~ у¢(х0 ) = у0¢ , ~ то найдутся такие значения с1 и с2 , что функция у = j(х, ~с , с~ ) 1 2 будет являться решением данного дифференциального уравне- ния, удовлетворяющим этим начальным условиям. 5.3.Любое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных с1 и с2, назы- вается частным решением дифференциального уравнения. 5.4.Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (5.1) формулируется так: Если функция f (x, y, y¢) и ее частные производные по у и у¢ непрерывны в некоторой области, содержащей х = х0 , у = у0 , у¢ = у0¢ , то существует единственное решение у = у(х) , удовлетворяющее условиям у(х0) = у0 ,
у¢(х0) = у0¢ . 5.5.Типы дифференциального уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. I тип.Уравнение имеет вид у¢ = f (x) . Общее решение находится путем двукратного интегрирования следующим образом:
dx
y¢ = ò f ( x)dx + c1 ,
y = ò (ò f ( x)dx)dx + c x + c . dx 1 2 II тип.Уравнение не содержит явным образом искомой функции у (х): у¢ = f (x, y¢) . Порядок уравнения понижается на единицу заменой у¢ = z(x) . Так как у¢ = z¢ , то получим уравнение первого порядка относительно z (х): z¢ = f (x, z) . III тип.Уравнение не содержит явным образом независимой переменной х: у¢ = f ( у, y¢) . Порядок уравнения понижается на единицу с помощью подстановки у¢ = z(у) . В этом случае
dy = dz z , и уравнение примет вид
dy
dy
f ( y, z) .
Дата добавления: 2015-01-25; просмотров: 376 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов Читайте также:
Рекомендуемый контект: Поиск на сайте:
|