Определение дифференциального уравнения первого порядка, его общего и частного решения (интеграла)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

 

Методические указания

к контрольной работе № 8

 

 

Составители Т.А. Шалыгина, Л.И. Цепилевич

 

 

Томск 2008

Дифференциальные уравнения: методические указания / Сост. Т.А. Шалыгина, Л.И. Цепилевич.  Томск: Изд-во Том. гос. архит.- строит. ун-та, 2008. – 32 с.

 

Рецензент старший преподаватель Н.А. Мокряк Редактор Е.Ю. Глотова

 

 

Методические указания по высшей математике для студентов второго курса заочной формы обучения к выполнению контрольной работы № 8 по теме «Дифференциальные уравнения».

 

Печатаются по решению методического семинара кафедры высшей математики, протокол № 9 от 21.05.2008 г.

 

Утверждены и введены в действием проректором по учебной работе В.В. Дзюбо

 

с 1.09.2008

до 1.09.2013

 

Подписано в печать. Формат 60х84/16 Бумага офсет. Гарнитура Таймс, печать офсет.

Уч.-изд. л. 1,68. Тираж 150. Заказ №

 

Изд-во ТГАСУ, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2. Отпечатано с оригинал-макета в ООП ТГАСУ. 634003, г. Томск, ул. Партизанская, 15.

Введение

 

Данные методические указания предназначены для сту- дентов заочного факультета и дают ряд практических рекомен- даций студентам по выполнению контрольной работы. Указа- ния содержат список рекомендуемой литературы, вопросы для самопроверки, краткие теоретические сведения, рекомендации по решению типовых задач, контрольные задания.

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

 

Основные понятия

 

Определение дифференциального уравнения первого порядка, его общего и частного решения (интеграла)

 

1.1. Дифференциальным уравнением первого порядка на- зывается соотношение между независимой переменной х, неизвестной функцией у (х) и ее первой производной у ¢, т. е.

F (x, y, y ¢) = 0.

Если это уравнение можно разрешить относительно про- изводной у ¢, то оно примет вид

у ¢ =

f (x, y).

Дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано с использованием дифференциалов х и у, т. е.

P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

1.2. Общим решением дифференциального уравнения пер-

вого порядка называется функция ная, удовлетворяющая условиям:

у = j(х, с), где с - постоян-

а) она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любых значениях постоянной с;

б) каково бы ни было начальное условие у = у 0, при

х = х 0

можно найти такое значение

с = с 0, что функция

у = j(х, с 0)

удовлетворяет данному начальному условию.

1.3. Частным решением называется функция

у = j(х, с 0),

которая получается из общего решения

у = j(х, с), если в нем

произвольной постоянной с придать значение с 0.

1.4. Соотношение вида

Ф(х, у, с) = 0, неявно задающее

неизвестную функцию у, называется общим интегралом диф-

ференциального уравнения, а соотношение

стным интегралом.

Ф (х, у, с 0) = 0  ча-

1.5. Геометрически общее решение (или общий интеграл)

представляет собою семейство кривых на координатной плос- кости. Частному решению (или частному интегралу) соответст- вует одна кривая этого семейства, проходящая через заданную точку М 0(х 0, у 0).

1.6. Задача Коши состоит в отыскании решения диффе-

ренциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего

начальному условию

у = у 0

при

х = х 0.