Лекции.Орг


Поиск:




Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли




 

4.1. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неиз- вестной функции у (х) и ее производной у ¢, т. е. уравнение вида

у ¢ + р (х) × у = q (x),

где р (х) и q (x) – непрерывные функции от х.


Если


q (x) º 0, то уравнение называется линейным одно-


родным уравнением.

4.2. Метод решения линейного уравнения – метод вариа-

ции произвольной постоянной – заключается в следующем.

Сначала находят общее решение однородного уравнения

у ¢ + р (х) × у = 0,


 

которое имеет вид


у = с × ер (х) dx.


Следуя методу вариации произвольной постоянной, общее решение неоднородного уравнения следует искать в виде

у = с (х) × ер (х) dx, где с (х) – неизвестная пока функция от х.

После нахождения этой функции общее решение данного

уравнения станет известным.

4.3. Общее решение линейного уравнения может быть найдено другим способом.


Положим


у = u (x) × v (x),


где u (x) и v (x) – неизвестные пока функции. Найдя

у ¢ = u ¢ × v + u × v ¢

и подставив в данное уравнение нужные выражения, будем иметь

u ¢ × v + u × v ¢ + p (x) × u × v = q (x),

или после преобразований

u ¢ × v + u (p (x) × v + v ¢) = q (x).

В качестве функции v (x) возьмем любое частное решение урав- нения

v ¢ + p (x) × v = 0,

вторую функцию u (x) найдем, решив уравнение

u ¢ × v = q (x).

Найдя обе функции u (x) и v (x), мы найдем и общее решение уравнения

у = u (x) × v(x).

4.4. Дифференциальное уравнение может оказаться ли- нейным относительно функции х (у) и ее производной х ¢.Такое уравнение выглядит так:

х ¢ + р (у) × х = q (у).

4.5. Уравнение Бернулли имеет вид

у ¢ + p (x) у = q (x) × уn, n ¹ 0, n ¹ 1.


 

Это уравнение заменой уравнению


z = y 1- n


 

можно свести к линейному


z ¢

1 - n


+ p (x) × z = q (x).


Более удобным практически является метод решения уравнения


с помощью подстановки Бернулли к линейному.


y = u (x) × v (x)


без сведения уравнения






Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-01-25; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 531 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Сложнее всего начать действовать, все остальное зависит только от упорства. © Амелия Эрхарт
==> читать все изречения...

624 - | 524 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.013 с.