4.1. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неиз- вестной функции у (х) и ее производной у ¢, т. е. уравнение вида
у ¢ + р (х) × у = q (x),
где р (х) и q (x) – непрерывные функции от х.
Если
q (x) º 0, то уравнение называется линейным одно-
родным уравнением.
4.2. Метод решения линейного уравнения – метод вариа-
ции произвольной постоянной – заключается в следующем.
Сначала находят общее решение однородного уравнения
у ¢ + р (х) × у = 0,
которое имеет вид
у = с × е -ò р (х) dx.
Следуя методу вариации произвольной постоянной, общее решение неоднородного уравнения следует искать в виде
у = с (х) × е -ò р (х) dx, где с (х) – неизвестная пока функция от х.
После нахождения этой функции общее решение данного
уравнения станет известным.
4.3. Общее решение линейного уравнения может быть найдено другим способом.
Положим
у = u (x) × v (x),
где u (x) и v (x) – неизвестные пока функции. Найдя
у ¢ = u ¢ × v + u × v ¢
и подставив в данное уравнение нужные выражения, будем иметь
u ¢ × v + u × v ¢ + p (x) × u × v = q (x),
или после преобразований
u ¢ × v + u (p (x) × v + v ¢) = q (x).
В качестве функции v (x) возьмем любое частное решение урав- нения
v ¢ + p (x) × v = 0,
вторую функцию u (x) найдем, решив уравнение
u ¢ × v = q (x).
Найдя обе функции u (x) и v (x), мы найдем и общее решение уравнения
у = u (x) × v(x).
4.4. Дифференциальное уравнение может оказаться ли- нейным относительно функции х (у) и ее производной х ¢.Такое уравнение выглядит так:
х ¢ + р (у) × х = q (у).
4.5. Уравнение Бернулли имеет вид
у ¢ + p (x) у = q (x) × уn, n ¹ 0, n ¹ 1.
Это уравнение заменой уравнению
z = y 1- n
можно свести к линейному
z ¢
1 - n
+ p (x) × z = q (x).
Более удобным практически является метод решения уравнения
с помощью подстановки Бернулли к линейному.
y = u (x) × v (x)
без сведения уравнения
