Задача 1.Найти общее решение (или общий интеграл) данных дифференциальных уравнений:
а) х × у × у¢ = 1 + х2 ,
в) 4х - 3у + у¢(2у - 3х) = 0,
с) х × у¢ + 2 у = х2 .
Решение:
а) Запишем уравнение в виде уравнения, разрешенного
относительно производной, т. е. в виде
у¢ =
f (x, у) .
В данном случае, поделив обе части уравнения на получаем
х × у ,
| |
ху
= 1 +х 1 .
| |
Правая часть уравнения есть произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Это значит, что данное уравнение является уравнением с разделяю- щимися переменными. Разделим переменные следующими дей- ствиями:
у¢ = dy ,
dy = 1 + x 1 ,
y dy =
1 + x2
dx .
| |
Получили в результате уравнение с разделенными пере- менными, обе части которого интегрируем:
у dy =
1 + x2
dx ,
у dy =
æ 1 + x ö dx ,
