Рекомендации по решению типовых задач

 

Задача 1. Найти общее решение (или общий интеграл) данных дифференциальных уравнений:

а) х × у × у ¢ = 1 + х 2,

в) 4 х - 3 у + у ¢(2 у - 3 х) = 0,

с) х × у ¢ + 2 у = х 2.

 

Решение:

а) Запишем уравнение в виде уравнения, разрешенного

относительно производной, т. е. в виде

у ¢ =

f (x, у).

В данном случае, поделив обе части уравнения на получаем

х × у,

у ¢ = 1+ х

ху

= 1 + х 1.

х у

Правая часть уравнения есть произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Это значит, что данное уравнение является уравнением с разделяю- щимися переменными. Разделим переменные следующими дей- ствиями:

у ¢ = dy,

dy = 1 + x 1,

 

y dy =

1 + x 2

 

dx.

dx dx x y x

Получили в результате уравнение с разделенными пере- менными, обе части которого интегрируем:

у dy =

1 + x 2

dx,

у dy =

æ 1 + x ö dx,