Лекции.Орг


Поиск:




Ograve; ò x




dx


ò ò

÷
ç
è x ø

y 2 x 2


ò у dy = ò x


+ ò x dx,


= ln 2


x + + c,

2


y 2 - x 2

2


 

= ln


 

x + c.


Мы получили соотношение между х, у и произвольной

постоянной с, которое называется общим интегралом.

 

в) Разрешим уравнение относительно производной у:


у ¢ = - 4 х - 3 у

2 у - 3 х


 

или


у ¢ = 4 х - 3 у. (1)

3 х - 2 у


Правая часть этого уравнения

f (x, у) = 4 x - 3 y

3 x - 2 y

является однородной функцией нулевого порядка относительно своих аргументов, так как удовлетворяет следующему условию:


 

 

В самом деле,


f (tx, ty) =


f (x, y).


f (tx, ty) = 4( tx )-3( ty )

3(tx) - 2(ty)


= t (4 x -3 y ) t (3 x - 2 y)


= 4 x -3 y =

3 x - 2 y


 

f (x, y).


Отсюда следует, что уравнение (1) является однородным. Од-


нородное уравнение решают подстановкой Найдем у ¢ и подставим в уравнение (1):

y ¢ = u ¢ × x + u,


u = y x


 

или


 

y = u × x.


u ¢ × x + u = 4 x - 3 ux,

3 x - 2 ux

u ¢ × x = 4-3 u - u,

3 - 2 u


u ¢ × x + u = x (4 - 3 u),

x (3 - 2 u)

u ¢ × x = 4-3 u - u (3-2 u ),

3 - 2 u


 

 
u ¢ × x = 2 u -6 u +4.

3 - 2 u

Получившееся уравнение оказывается уравнением с разделяю- щимися переменными. Разделяем переменные:


du 2 u 2 -6 u +4

x =,


(3 - 2 u) du


 

= dx,


dx 3 - 2 u


2 u 2 - 6 u + 4 x


после чего интегрируем:

 

ò


 

 

3 - 2 u


 

 

dx

du = ò,


2 u 2 - 6 u + 4 x


1

- 2 ò


4 u - 6 du

2 u 2 - 6 u + 4


= - 1 ò


d (2 u -6 u +4) =

2 u 2 - 6 u + 4


= - 1 ln 2 u 2 2


dx

- 6 u + 4 + c 1, ò x


= ln


x + c 1.


Получаем общий интеграл:


- 1 ln 2 u 2 - 6 u + 4 = ln 2


x + ln c, где


ln c = c 2


c 1.


После потенцирования общий интеграл примет вид


2 u 2 - 6 u + 4 =


1.

c 2 x 2


Вернемся к старой функции у, подставив вместо u у:

х


æ у ö2 у


1


2 ç ÷ - 6


+ 4 =


è х ø х


с 2 х 2


или


2 у 2 - 6 ху + 4 х 2 = 1.

с 2


с) В данное уравнение неизвестная функция у и ее произ-

водная у ¢ входят в первой степени. Отсюда следует вывод: уравнение является линейным. Будем искать решение линейно- го уравнения в виде произведения двух пока неизвестных


функций u (x) и v (x), т. е.


у = u × v. Найдем производную


у ¢ = u ¢ × v + u × v ¢

и подставим в уравнение (2):

x (u ¢ × v + u × v ¢) + 2 u × v = x 2,


x × u ¢ × v + x × u × v ¢ + 2 u × v = x 2,

x × u ¢ × v + (x × u × v ¢ + 2 u × v) = x 2,

x × u ¢ × v + u (x × v ¢ + 2 v) = x 2.

Для нахождения функции v (x) положим:

x × v ¢ + 2 v = 0.

Найдем частное решение (для этого положим с = 0) этого

уравнения с разделяющимися переменными:


x dv = -2 v,


dv = -2 dx,


dx v x

dv dx 1


ò v = -2 ò x,


ln v = -2 ln x,


v =.

x 2


Для нахождения другой функции u (x) у нас получается

уравнение:


x × u ¢ × v = x 2,


x × u ¢ 1

x 2


= x 2,


u ¢ = x 3,


du = x 3, dx


du = x 3 dx, ò du = ò x 3 dx,


 
u = x


+ c.


Общее решение данного уравнения (2) будет иметь вид


æ x 4


ö 1 x 2 c


y = u × v = ç + c ÷ = +.


 
x
ç ÷ 2

è ø


4 x 2


Задача 2. Найти частное решение дифференциального уравнения


2 х × у ¢ - у =


3 х 2

,

у


удовлетворяющее начальному условию


у (1) = 2.


Решение: Уравнение Бернулли имеет вид


у ¢ + р (х) у = q (x) yn,


n ¹ 0,


n ¹ 1.


Данное уравнение можно записать в виде


у ¢ - у

2 х


= 3 х

2 х


у -1,


поэтому делаем вывод: данное уравнение является уравнением

Бернулли. Его можно решать тем же методом, что и линейное


уравнение. Будем искать общее решение в виде

у ¢ = u ¢ × v + u × v ¢,


у = u × v:


u ¢ × v + u × v ¢ - u × v =

2 x

æ ö


3 x,

2 u × v

3


u ¢ × v + u ç v ¢ -


v ÷ = x,


è 2 x ø


2 u × v


v ¢ - v


 

= 0,


d v = dx, ò d v = 1 ò dx,


2 x v 2 x


v 2 x


ln v = 1 ln x,


 

v = x


 

– одну функцию нашли.


 

u ¢ ×


x = 3 x,

2 u × x


du = 3,

dx 2 u


2 u du = 3 dx, ò 2 u du = ò 3 dx,


u 2 = 3 x + c


 

или


u = 3 x + c.


Общее решение уравнения примет вид


 

y = u × v =


 

3 x + c × x =


 

3 x 2 + cx.


Чтобы найти частное решение уравнения, нужно найти значение константы с. Для ее нахождения подставим в общее решение х = 1 и у = 2:


2 = 3×1 + с ×1 =


3 + с,


4 = 3 + с, с = 1.


Подставив в общее решение значение с = 1, получаем ча-


 

стное решение у =


 

3 х 2 + х.


 

Задача 3. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка


 

Решение:


у ¢ + 1

х


 

у ¢ = х 2.


В данном уравнении второго порядка отсутствует в явном

виде сама функция у. Это уравнение допускает понижение по-


рядка, для чего надо сделать замену уравнение примет вид


у ¢ = z (x). Тогда


у ¢ = z ¢ и


z ¢ + 1 z = х 2. (3)

х

Уравнение (3) оказывается линейным уравнением первого

порядка относительно функции z (x) и решается следующим об- разом:


z = u × v,

u ¢ × v + u × v ¢ + u × v = x 2,


z ¢ = u ¢ × v + u × v ¢,

u ¢ × v + u ç v ¢ + v ÷ = x,


 

v ¢ + v = 0,


æ ö

x è x ø 2

dv = - dx, ò dv = -ò dx,


x

 

ln v = - ln x,


v x v x

v = 1;

x


u ¢ 1 = x 2,

x


du = x 3 dx, ò du = ò x 3 dx,


u = x

4


 

+ c 1.


Общее решение уравнения (3) примет вид


1 æ x 4

z = u × v = ç


ö x 3

+ c ÷ =


 

x
+ c 1.


è
 
ø
x ç 4 1 ÷


 

В начале решения была сделана замена


y ¢ = z. Следовательно,


 
y ¢ = x


+ c 1.


4 x

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, по-

лучаем


 

 
æ x 3 dy = ç


c ö

+ 1 ÷ dx,


x
ç ÷

è ø

æ 3 ö


ç 4
ò dy = ò ç x

è


+ c 1 ÷ dx,

x
÷

ø


x 4

y = + c 1 ln x + c 2 - общее решение данного уравнения.

 

Задача 4. Найти частное решение уравнения

у ¢ + 4 у ¢ = х 2 + 5 х,


удовлетворяющее начальным условиям


у (0) = 1,


у ¢(0) = 0.


 

Решение:

Данное уравнение является линейным дифференциальным

уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами с


правой частью специального вида


f (x) = Pn (x), где


Pn (x) -


многочлен степени n. Общее решение такого уравнения скла- дывается из общего решения однородного уравнения (правая часть равна нулю) и какого-либо частного решения неоднород- ного уравнения.

Решим сначала однородное уравнение

у ¢ + 4 у ¢ = 0.

Составляем характеристическое уравнение

k 2 + 4 k = 0,


корнями которого будут


k 1 = 0


и k 2 = -4.


Соответственно этим корням находим частные решения


y 1 = e


k 1 x


= e o x = 1 и


y 2 = e


k 2 x


= e -4 x


и общее решение, которое представляет собой линейную ком- бинацию найденных частных решений:


y = c y


+ c y


= c ×1 + c e -4 x.


o.o


1 1 2 2 1 2


Теперь надо найти частное решение неоднородного уравнения.

Пользуясь таблицей, мы будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде


у ч.н


= (Ах 2 + Вх + С) х,


так как правая часть f (x) уравнения представляет собой много- член второй степени, а число 0 является корнем характеристи- ческого уравнения с кратностью s = 1.

Нам остается найти неизвестные пока коэффициенты А, В, С. Для этого найдем первую и вторую производные от у ч.н и подставим найденные выражения в данное неоднородное урав- нение:


у ч.н


= Ах 3 + Вх 2 + Сх,


у ¢ = 3 Ах 2 + 2 Вх + С,


у ¢ = 6 Ах + 2 В,


 

6 Ах + 2 В + 4(3 Ах 2 + 2 Вх + С) = х 2 + 5 х,

 

12 Ах 2 + (6 А + 8 В) х + (2 В + 4 С) = х 2 + 5 х.

Из полученного равенства двух многочленов следует ра- венство коэффициентов при одинаковых степенях х в левой и правой частях:

ïì12 А = 1;

í6 А + 8 В = 5;

ïî2 В + 4 С = 0.

Решением системы являются:


А = 1,


В = 9,

16


С = - 9.

32


Значит, частное решение имеет вид


 

у ч.н


= 1 х 3 + 9

12 16


 

х 2 -


9 х,

32


а общее решение есть


 

у о.н


 

= у о.о


 

+ у ч.н


 

= с 1


+ с е - 4 х + 1

 
12


х 3 + 9

16


 

х 2 -


9 х.

32


Найдем значения постоянных с 1 и с 2. Для этого сначала продифференцируем полученное общее решение:

у ¢ = -4 с е - 4 х + 1 х 2 + 9 х - 9.

2 4 8 32


Теперь подставим


х = 0


в выражения для у и у ¢:


у (0) = с 1 + с 2 = 1,


у ¢ (0) = -4с2 -

Решим систему:


 

= 0.


ïì с 1 + с 2 = 1,


í- 4 с


- 9 = 0.


 

Найденные


ïî

с = 137

1 128


 

 

и с 2


= - 9


 

подставим в общее ре-


137 - 9 е - 4 х + 1 х 3 + 9   х 2 -  
128 128   12 16    
         

 

шение и получим частное решение:

 

у = х.

 

 

Задача 5. Найти общее решение системы линейных диф- ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами пу- тем сведения ее к одному уравнению второго порядка:

ì dx


ï dt

í dy

ï

î dt


= 4 x + 2 y,

 

= - x + y.


Решение:

Продифференцируем обе части первого уравнения по пе-

ременной t:

ö
æ dx ¢


ç ÷ = (4 x + 2 y


или


x ¢ = 4 x ¢ + 2 y ¢.


è dt ø

Чтобы получить дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции х (t), подставим вместо у ¢ ее вы- ражение из второго уравнения системы:

x ¢ = 4 x ¢ + 2(- х + y)


или


x ¢ = 4 x ¢ - 2 х + 2 y. (5)


Из первого уравнения системы найдем 2 у:

2 у = х ¢ - 4 х

и подставим в уравнение (5):

x ¢ = 4 x ¢ - 2 х + х ¢ - 4 х


или


x ¢ - 5 х ¢ + 6 х = 0.


Полученное уравнение является линейным однородным

уравнением с постоянными коэффициентами. Находим корни соответствующего характеристического уравнения

2 t
3 t
k 2 - 5 k + 6 = 0,


k 1 = 2,


k 2 = 3. Тогда


x 1 = e


и x 2 = e,


а x = c 1


· x 1


+ c 2


· x 2


= c 1


· e 2 t + c 2


· e 3 t.


Одна из неизвестных функций х (t) найдена. Для нахожде-

ния второй функции у (t) воспользуемся соотношением, полу-

ченным ранее:

у = х ¢-4 х.


Тогда


x ¢ = 2 c 1


· e 2 t + 3 c


· e 3 t,


 
x ¢ - 4х = 2 c 1


· e 2 t + 3 c 2


· e 3 t - 4 c


· e 2 t - 4 c


· e 3 t = -2 c


· e 2 t - c


· e 3 t,


 

 
y = - c


· e 2 t - 1 c


 

·

 
 
 
e 3 t.


1 2 2


Общее решение данной системы имеет вид


ì x = c


· e 2 t + c


· e 3 t,


ï 1

í 2 t


1 3 t


ïî y = - c 1 × e


- c 2 × e.


 

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-01-25; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 464 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Человек, которым вам суждено стать – это только тот человек, которым вы сами решите стать. © Ральф Уолдо Эмерсон
==> читать все изречения...

802 - | 763 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.009 с.