Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


Ograve; ò x




dx


ò ò

÷
ç
è x ø

y 2 x 2


ò у dy = ò x


+ ò x dx,


= ln 2


x + + c,

2


y 2 - x 2

2


 

= ln


 

x + c.


ћы получили соотношение между х, у и произвольной

посто€нной с, которое называетс€ общим интегралом.

 

в) –азрешим уравнение относительно производной у:


у ¢ = - 4 х - 3 у

2 у - 3 х


 

или


у ¢ = 4 х - 3 у. (1)

3 х - 2 у


ѕрава€ часть этого уравнени€

f (x, у) = 4 x - 3 y

3 x - 2 y

€вл€етс€ однородной функцией нулевого пор€дка относительно своих аргументов, так как удовлетвор€ет следующему условию:


 

 

¬ самом деле,


f (tx, ty) =


f (x, y).


f (tx, ty) = 4( tx )-3( ty )

3(tx) - 2(ty)


= t (4 x -3 y ) t (3 x - 2 y)


= 4 x -3 y =

3 x - 2 y


 

f (x, y).


ќтсюда следует, что уравнение (1) €вл€етс€ однородным. ќд-


нородное уравнение решают подстановкой Ќайдем у ¢ и подставим в уравнение (1):

y ¢ = u ¢ × x + u,


u = y x


 

или


 

y = u × x.


u ¢ × x + u = 4 x - 3 ux,

3 x - 2 ux

u ¢ × x = 4-3 u - u,

3 - 2 u


u ¢ × x + u = x (4 - 3 u),

x (3 - 2 u)

u ¢ × x = 4-3 u - u (3-2 u ),

3 - 2 u


 

 
u ¢ × x = 2 u -6 u +4.

3 - 2 u

ѕолучившеес€ уравнение оказываетс€ уравнением с раздел€ю- щимис€ переменными. –аздел€ем переменные:


du 2 u 2 -6 u +4

x =,


(3 - 2 u) du


 

= dx,


dx 3 - 2 u


2 u 2 - 6 u + 4 x


после чего интегрируем:

 

ò


 

 

3 - 2 u


 

 

dx

du = ò,


2 u 2 - 6 u + 4 x


1

- 2 ò


4 u - 6 du

2 u 2 - 6 u + 4


= - 1 ò


d (2 u -6 u +4) =

2 u 2 - 6 u + 4


= - 1 ln 2 u 2 2


dx

- 6 u + 4 + c 1, ò x


= ln


x + c 1.


ѕолучаем общий интеграл:


- 1 ln 2 u 2 - 6 u + 4 = ln 2


x + ln c, где


ln c = c 2


Ц c 1.


ѕосле потенцировани€ общий интеграл примет вид


2 u 2 - 6 u + 4 =


1.

c 2 x 2


¬ернемс€ к старой функции у, подставив вместо u у:

х


æ у ö2 у


1


2 ç ÷ - 6


+ 4 =


è х ø х


с 2 х 2


или


2 у 2 - 6 ху + 4 х 2 = 1.

с 2


с) ¬ данное уравнение неизвестна€ функци€ у и ее произ-

водна€ у ¢ вход€т в первой степени. ќтсюда следует вывод: уравнение €вл€етс€ линейным. Ѕудем искать решение линейно- го уравнени€ в виде произведени€ двух пока неизвестных


функций u (x) и v (x), т. е.


у = u × v. Ќайдем производную


у ¢ = u ¢ × v + u × v ¢

и подставим в уравнение (2):

x (u ¢ × v + u × v ¢) + 2 u × v = x 2,


x × u ¢ × v + x × u × v ¢ + 2 u × v = x 2,

x × u ¢ × v + (x × u × v ¢ + 2 u × v) = x 2,

x × u ¢ × v + u (x × v ¢ + 2 v) = x 2.

ƒл€ нахождени€ функции v (x) положим:

x × v ¢ + 2 v = 0.

Ќайдем частное решение (дл€ этого положим с = 0) этого

уравнени€ с раздел€ющимис€ переменными:


x dv = -2 v,


dv = -2 dx,


dx v x

dv dx 1


ò v = -2 ò x,


ln v = -2 ln x,


v =.

x 2


ƒл€ нахождени€ другой функции u (x) у нас получаетс€

уравнение:


x × u ¢ × v = x 2,


x × u ¢ 1

x 2


= x 2,


u ¢ = x 3,


du = x 3, dx


du = x 3 dx, ò du = ò x 3 dx,


 
u = x


+ c.


ќбщее решение данного уравнени€ (2) будет иметь вид


æ x 4


ö 1 x 2 c


y = u × v = ç + c ÷ = +.


 
x
ç ÷ 2

è ø


4 x 2


«адача 2. Ќайти частное решение дифференциального уравнени€


2 х × у ¢ - у =


3 х 2

,

у


удовлетвор€ющее начальному условию


у (1) = 2.


–ешение: ”равнение Ѕернулли имеет вид


у ¢ + р (х) у = q (x) yn,


n ¹ 0,


n ¹ 1.


ƒанное уравнение можно записать в виде


у ¢ - у

2 х


= 3 х

2 х


у -1,


поэтому делаем вывод: данное уравнение €вл€етс€ уравнением

Ѕернулли. ≈го можно решать тем же методом, что и линейное


уравнение. Ѕудем искать общее решение в виде

у ¢ = u ¢ × v + u × v ¢,


у = u × v:


u ¢ × v + u × v ¢ - u × v =

2 x

æ ö


3 x,

2 u × v

3


u ¢ × v + u ç v ¢ -


v ÷ = x,


è 2 x ø


2 u × v


v ¢ - v


 

= 0,


d v = dx, ò d v = 1 ò dx,


2 x v 2 x


v 2 x


ln v = 1 ln x,


 

v = x


 

Ц одну функцию нашли.


 

u ¢ ×


x = 3 x,

2 u × x


du = 3,

dx 2 u


2 u du = 3 dx, ò 2 u du = ò 3 dx,


u 2 = 3 x + c


 

или


u = 3 x + c.


ќбщее решение уравнени€ примет вид


 

y = u × v =


 

3 x + c × x =


 

3 x 2 + cx.


„тобы найти частное решение уравнени€, нужно найти значение константы с. ƒл€ ее нахождени€ подставим в общее решение х = 1 и у = 2:


2 = 3×1 + с ×1 =


3 + с,


4 = 3 + с, с = 1.


ѕодставив в общее решение значение с = 1, получаем ча-


 

стное решение у =


 

3 х 2 + х.


 

«адача 3. Ќайти общее решение дифференциального уравнени€ второго пор€дка


 

–ешение:


у ¢ + 1

х


 

у ¢ = х 2.


¬ данном уравнении второго пор€дка отсутствует в €вном

виде сама функци€ у. Ёто уравнение допускает понижение по-


р€дка, дл€ чего надо сделать замену уравнение примет вид


у ¢ = z (x). “огда


у ¢ = z ¢ и


z ¢ + 1 z = х 2. (3)

х

”равнение (3) оказываетс€ линейным уравнением первого

пор€дка относительно функции z (x) и решаетс€ следующим об- разом:


z = u × v,

u ¢ × v + u × v ¢ + u × v = x 2,


z ¢ = u ¢ × v + u × v ¢,

u ¢ × v + u ç v ¢ + v ÷ = x,


 

v ¢ + v = 0,


æ ö

x è x ø 2

dv = - dx, ò dv = -ò dx,


x

 

ln v = - ln x,


v x v x

v = 1;

x


u ¢ 1 = x 2,

x


du = x 3 dx, ò du = ò x 3 dx,


u = x

4


 

+ c 1.


ќбщее решение уравнени€ (3) примет вид


1 æ x 4

z = u × v = ç


ö x 3

+ c ÷ =


 

x
+ c 1.


è
 
ø
x ç 4 1 ÷


 

¬ начале решени€ была сделана замена


y ¢ = z. —ледовательно,


 
y ¢ = x


+ c 1.


4 x

Ёто уравнение с раздел€ющимис€ переменными. –еша€ его, по-

лучаем


 

 
æ x 3 dy = ç


c ö

+ 1 ÷ dx,


x
ç ÷

è ø

æ 3 ö


ç 4
ò dy = ò ç x

è


+ c 1 ÷ dx,

x
÷

ø


x 4

y = + c 1 ln x + c 2 - общее решение данного уравнени€.

 

«адача 4. Ќайти частное решение уравнени€

у ¢ + 4 у ¢ = х 2 + 5 х,


удовлетвор€ющее начальным услови€м


у (0) = 1,


у ¢(0) = 0.


 

–ешение:

ƒанное уравнение €вл€етс€ линейным дифференциальным

уравнением второго пор€дка с посто€нными коэффициентами с


правой частью специального вида


f (x) = Pn (x), где


Pn (x) -


многочлен степени n. ќбщее решение такого уравнени€ скла- дываетс€ из общего решени€ однородного уравнени€ (права€ часть равна нулю) и какого-либо частного решени€ неоднород- ного уравнени€.

–ешим сначала однородное уравнение

у ¢ + 4 у ¢ = 0.

—оставл€ем характеристическое уравнение

k 2 + 4 k = 0,


корн€ми которого будут


k 1 = 0


и k 2 = -4.


—оответственно этим корн€м находим частные решени€


y 1 = e


k 1 x


= e o x = 1 и


y 2 = e


k 2 x


= e -4 x


и общее решение, которое представл€ет собой линейную ком- бинацию найденных частных решений:


y = c y


+ c y


= c ×1 + c e -4 x.


o.o


1 1 2 2 1 2


“еперь надо найти частное решение неоднородного уравнени€.

ѕользу€сь таблицей, мы будем искать частное решение неоднородного уравнени€ в виде


у ч.н


= (јх 2 + ¬х + ) х,


так как права€ часть f (x) уравнени€ представл€ет собой много- член второй степени, а число 0 €вл€етс€ корнем характеристи- ческого уравнени€ с кратностью s = 1.

Ќам остаетс€ найти неизвестные пока коэффициенты ј, ¬, . ƒл€ этого найдем первую и вторую производные от у ч.н и подставим найденные выражени€ в данное неоднородное урав- нение:


у ч.н


= јх 3 + ¬х 2 + —х,


у ¢ = 3 јх 2 + 2 ¬х + ,


у ¢ = 6 јх + 2 ¬,


 

6 јх + 2 ¬ + 4(3 јх 2 + 2 ¬х + ) = х 2 + 5 х,

 

12 јх 2 + (6 ј + 8 ¬) х + (2 ¬ + 4 ) = х 2 + 5 х.

»з полученного равенства двух многочленов следует ра- венство коэффициентов при одинаковых степен€х х в левой и правой част€х:

ïì12 ј = 1;

í6 ј + 8 ¬ = 5;

ïî2 ¬ + 4 = 0.

–ешением системы €вл€ютс€:


ј = 1,


¬ = 9,

16


= - 9.

32


«начит, частное решение имеет вид


 

у ч.н


= 1 х 3 + 9

12 16


 

х 2 -


9 х,

32


а общее решение есть


 

у о.н


 

= у о.о


 

+ у ч.н


 

= с 1


+ с е - 4 х + 1

 
12


х 3 + 9

16


 

х 2 -


9 х.

32


Ќайдем значени€ посто€нных с 1 и с 2. ƒл€ этого сначала продифференцируем полученное общее решение:

у ¢ = -4 с е - 4 х + 1 х 2 + 9 х - 9.

2 4 8 32


“еперь подставим


х = 0


в выражени€ дл€ у и у ¢:


у (0) = с 1 + с 2 = 1,


у ¢ (0) = -4с2 -

–ешим систему:


 

= 0.


ïì с 1 + с 2 = 1,


í- 4 с


- 9 = 0.


 

Ќайденные


ïî

с = 137

1 128


 

 

и с 2


= - 9


 

подставим в общее ре-


137 - 9 е - 4 х + 1 х 3 + 9   х 2 -  
128 128   12 16    
         

 

шение и получим частное решение:

 

у = х.

 

 

«адача 5. Ќайти общее решение системы линейных диф- ференциальных уравнений с посто€нными коэффициентами пу- тем сведени€ ее к одному уравнению второго пор€дка:

ì dx


ï dt

í dy

ï

î dt


= 4 x + 2 y,

 

= - x + y.


–ешение:

ѕродифференцируем обе части первого уравнени€ по пе-

ременной t:

ö
æ dx ¢


ç ÷ = (4 x + 2 y


или


x ¢ = 4 x ¢ + 2 y ¢.


è dt ø

„тобы получить дифференциальное уравнение второго пор€дка относительно функции х (t), подставим вместо у ¢ ее вы- ражение из второго уравнени€ системы:

x ¢ = 4 x ¢ + 2(- х + y)


или


x ¢ = 4 x ¢ - 2 х + 2 y. (5)


»з первого уравнени€ системы найдем 2 у:

2 у = х ¢ - 4 х

и подставим в уравнение (5):

x ¢ = 4 x ¢ - 2 х + х ¢ - 4 х


или


x ¢ - 5 х ¢ + 6 х = 0.


ѕолученное уравнение €вл€етс€ линейным однородным

уравнением с посто€нными коэффициентами. Ќаходим корни соответствующего характеристического уравнени€

2 t
3 t
k 2 - 5 k + 6 = 0,


k 1 = 2,


k 2 = 3. “огда


x 1 = e


и x 2 = e,


а x = c 1


Ј x 1


+ c 2


Ј x 2


= c 1


Ј e 2 t + c 2


Ј e 3 t.


ќдна из неизвестных функций х (t) найдена. ƒл€ нахожде-

ни€ второй функции у (t) воспользуемс€ соотношением, полу-

ченным ранее:

у = х ¢-4 х.


“огда


x ¢ = 2 c 1


Ј e 2 t + 3 c


Ј e 3 t,


 
x ¢ - 4х = 2 c 1


Ј e 2 t + 3 c 2


Ј e 3 t - 4 c


Ј e 2 t - 4 c


Ј e 3 t = -2 c


Ј e 2 t - c


Ј e 3 t,


 

 
y = - c


Ј e 2 t - 1 c


 

Ј

 
 
 
e 3 t.


1 2 2


ќбщее решение данной системы имеет вид


ì x = c


Ј e 2 t + c


Ј e 3 t,


ï 1

í 2 t


1 3 t


ïî y = - c 1 × e


- c 2 × e.


 

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-01-25; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 448 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќеосмысленна€ жизнь не стоит того, чтобы жить. © —ократ
==> читать все изречени€...

425 - | 387 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.267 с.