![]() Поиск: Рекомендуем: ![]() ![]() ![]() ![]() Категории: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Ograve; ò xdx ò ò
+ ò x dx , = ln 2 x + + c ,
y2 - x2
= ln
Мы получили соотношение между х, у и произвольной постоянной с, которое называется общим интегралом.
в) Разрешим уравнение относительно производной у :
2 у - 3х
или у¢ = 4х - 3у . (1)
Правая часть этого уравнения
3x - 2 y является однородной функцией нулевого порядка относительно своих аргументов, так как удовлетворяет следующему условию:
В самом деле, f (tx,ty) = f (x, y) . f (tx,ty) = 4(tx)-3(ty) 3(tx) - 2(ty) = t (4x -3y) t (3x - 2 y) = 4x -3y = 3x - 2 y
f (x, y) . Отсюда следует, что уравнение (1) является однородным. Од- нородное уравнение решают подстановкой Найдем у¢ и подставим в уравнение (1): y¢ = u¢ × x + u , u = y x
y = u × x .
3x - 2ux u¢ × x = 4-3u - u , 3 - 2u u¢ × x + u = x(4 - 3u) ,
u¢ × x = 4-3u -u (3-2u) , 3 - 2u
3 - 2u Получившееся уравнение оказывается уравнением с разделяю- щимися переменными. Разделяем переменные: du 2u 2 -6u +4 x = , (3 - 2u) du
= dx , dx 3 - 2u 2u2 - 6u + 4 x после чего интегрируем:
3 - 2u
dx
2u2 - 6u + 4 x 1 - 2 ò 4u - 6 du 2u2 - 6u + 4 = - 1 ò d(2u -6u +4) =
dx
= ln x + c1 .
x + ln c , где ln c = c2 – c1 . После потенцирования общий интеграл примет вид 2u2 - 6u + 4 = 1 .
х æ у ö2 у 1 2 ç ÷ - 6 + 4 = è х ø х с2 х2 или 2 у2 - 6ху + 4х2 = 1 .
с) В данное уравнение неизвестная функция у и ее произ- водная у¢ входят в первой степени. Отсюда следует вывод: уравнение является линейным. Будем искать решение линейно- го уравнения в виде произведения двух пока неизвестных функций u (x) и v (x), т. е. у = u × v . Найдем производную у¢ = u¢ × v + u × v¢ и подставим в уравнение (2): x (u¢ × v + u × v¢) + 2u × v = x2 , x × u¢ × v + x × u × v¢ + 2u × v = x2 , x × u¢ × v + ( x × u × v¢ + 2u × v) = x2 , x × u¢ × v + u ( x × v¢ + 2v) = x2 . Для нахождения функции v (x) положим: x × v¢ + 2v = 0 . Найдем частное решение (для этого положим с = 0) этого уравнения с разделяющимися переменными:
dv = -2 dx ,
dv dx 1
ln v = -2 ln x , v = .
Для нахождения другой функции u (x) у нас получается уравнение: x × u¢ × v = x2 , x × u¢ 1
= x2 , u¢ = x3 ,
du = x3dx , ò du = ò x3dx ,
+ c . Общее решение данного уравнения (2) будет иметь вид æ x4 ö 1 x2 c
è ø 4 x2 Задача 2.Найти частное решение дифференциального уравнения 2х × у¢ - у = 3х2
у удовлетворяющее начальному условию у (1) = 2 . Решение:Уравнение Бернулли имеет вид у¢ + р( х) у = q( x) yn , n ¹ 0 , n ¹ 1. Данное уравнение можно записать в виде
2х = 3х
у-1 , поэтому делаем вывод: данное уравнение является уравнением Бернулли. Его можно решать тем же методом, что и линейное уравнение. Будем искать общее решение в виде у¢ = u¢ × v + u × v¢ , у = u × v :
2x æ ö 3x ,
3 u¢ × v + u ç v¢ - v ÷ = x , è 2x ø 2u × v v¢ - v
= 0 , dv = dx , ò dv = 1 ò dx , 2x v 2x v 2 x
– одну функцию нашли.
u¢ × x = 3x ,
du = 3 ,
u2 = 3x + c
или u = 3x + c . Общее решение уравнения примет вид
y = u × v =
3 + с , 4 = 3 + с , с = 1. Подставив в общее решение значение с = 1, получаем ча-
стное решение у =
Задача 3.Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка
Решение: у¢ + 1
у¢ = х2 . В данном уравнении второго порядка отсутствует в явном виде сама функция у. Это уравнение допускает понижение по- рядка, для чего надо сделать замену уравнение примет вид у¢ = z (x) . Тогда у¢ = z¢ и
х Уравнение (3) оказывается линейным уравнением первого порядка относительно функции z (x) и решается следующим об- разом: z = u × v , u¢ × v + u × v¢ + u × v = x2 , z¢ = u¢ × v + u × v¢ , u¢ × v + u ç v¢ + v ÷ = x ,
æ ö
x
ln v = - ln x , v x v x
x
x du = x3dx , ò du = ò x3dx , u = x
+ c1 . Общее решение уравнения (3) примет вид 1 æ x4
ö x3
В начале решения была сделана замена y¢ = z . Следовательно,
+ c1 .
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, по- лучаем
c ö
è ø æ 3 ö
è + c1 ÷ dx ,
ø x4
Задача 4.Найти частное решение уравнения у¢ + 4 у¢ = х2 + 5х , удовлетворяющее начальным условиям у(0) = 1, у¢(0) = 0 .
Решение: Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида f (x) = Pn (x) , где Pn (x) - многочлен степени n. Общее решение такого уравнения скла- дывается из общего решения однородного уравнения (правая часть равна нулю) и какого-либо частного решения неоднород- ного уравнения. Решим сначала однородное уравнение у¢ + 4 у¢ = 0 . Составляем характеристическое уравнение k 2 + 4k = 0 , корнями которого будут k1 = 0 и k2 = -4 . Соответственно этим корням находим частные решения y1 = e k1x = eox = 1 и y2 = e k 2 x = e-4 x и общее решение, которое представляет собой линейную ком- бинацию найденных частных решений: y = c y + c y = c ×1 + c e-4 x . o.o 1 1 2 2 1 2 Теперь надо найти частное решение неоднородного уравнения. Пользуясь таблицей, мы будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде уч.н = ( Ах2 + Вх + С) х , так как правая часть f (x) уравнения представляет собой много- член второй степени, а число 0 является корнем характеристи- ческого уравнения с кратностью s = 1. Нам остается найти неизвестные пока коэффициенты А, В, С. Для этого найдем первую и вторую производные от уч.н и подставим найденные выражения в данное неоднородное урав- нение: уч.н = Ах3 + Вх2 + Сх , у¢ = 3Ах2 + 2Вх + С , у¢ = 6Ах + 2В ,
6 Ах + 2В + 4(3Ах2 + 2Вх + С) = х2 + 5х ,
12Ах2 + (6 А + 8В)х + (2В + 4С ) = х2 + 5х . Из полученного равенства двух многочленов следует ра- венство коэффициентов при одинаковых степенях х в левой и правой частях: ïì12А = 1; í6А + 8В = 5; ïî2В + 4С = 0 . Решением системы являются:
В = 9 ,
С = - 9 .
Значит, частное решение имеет вид
уч.н = 1 х3 + 9
х2 - 9 х ,
а общее решение есть
уо.н
= уо.о
+ уч.н
= с1 + с е- 4 х + 1
х3 + 9
х2 - 9 х .
Найдем значения постоянных с1 и с2. Для этого сначала продифференцируем полученное общее решение:
2 4 8 32 Теперь подставим х = 0 в выражения для у и у¢: у (0) = с1 + с2 = 1,
Решим систему:
= 0 .
í- 4с - 9 = 0 .
Найденные ïî
1 128
и с2
подставим в общее ре-
Задача 5.Найти общее решение системы линейных диф- ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами пу- тем сведения ее к одному уравнению второго порядка: ì dx
í dy
î dt = 4x + 2 y,
= - x + y . Решение: Продифференцируем обе части первого уравнения по пе- ременной t:
или x¢ = 4x¢ + 2 y¢ . è dt ø Чтобы получить дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции х (t), подставим вместо у¢ ее вы- ражение из второго уравнения системы: x¢ = 4x¢ + 2(- х + y) или x¢ = 4x¢ - 2 х + 2 y . (5) Из первого уравнения системы найдем 2у: 2 у = х¢ - 4х и подставим в уравнение (5): x¢ = 4x¢ - 2 х + х¢ - 4х или x¢ - 5х¢ + 6х = 0 . Полученное уравнение является линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами. Находим корни соответствующего характеристического уравнения
k1 = 2 , k2 = 3 . Тогда x1 = e и x2 = e , а x = c1 ·x1 + c2 ·x2 = c1 ·e2t + c2 · e3t . Одна из неизвестных функций х (t) найдена. Для нахожде- ния второй функции у (t) воспользуемся соотношением, полу- ченным ранее: у = х¢-4х . Тогда x¢ = 2c1 ·e2t + 3c ·e3t ,
·e2t + 3c2 ·e3t - 4c ·e2t - 4c · e3t = -2c ·e2t - c ·e3t ,
·e2t - 1 c
·
Общее решение данной системы имеет вид ìx = c ·e2t + c · e3t , ï 1 í 2t 1 3t ïî y = -c1 × e - c2 × e .
Дата добавления: 2015-01-25; просмотров: 322 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов Читайте также:
Рекомендуемый контект: Поиск на сайте:
|