Ograve; ò x
Лекции.Орг

Поиск:


Ograve; ò x




dx


ò ò

÷
ç
è x ø

y2 x2


ò у dy = ò x


+ ò x dx ,


= ln 2


x + + c ,

2


y2 - x2

2


 

= ln


 

x + c .


Мы получили соотношение между х, у и произвольной

постоянной с, которое называется общим интегралом.

 

в) Разрешим уравнение относительно производной у :


у¢ = - 4х - 3у

2 у - 3х


 

или


у¢ = 4х - 3у . (1)

3х - 2 у


Правая часть этого уравнения

f (x, у) = 4x - 3y

3x - 2 y

является однородной функцией нулевого порядка относительно своих аргументов, так как удовлетворяет следующему условию:


 

 

В самом деле,


f (tx,ty) =


f (x, y) .


f (tx,ty) = 4(tx)-3(ty)

3(tx) - 2(ty)


= t (4x -3y) t (3x - 2 y)


= 4x -3y =

3x - 2 y


 

f (x, y) .


Отсюда следует, что уравнение (1) является однородным. Од-


нородное уравнение решают подстановкой Найдем у¢ и подставим в уравнение (1):

y¢ = u¢ × x + u ,


u = y x


 

или


 

y = u × x .


u¢ × x + u = 4x - 3ux ,

3x - 2ux

u¢ × x = 4-3u - u ,

3 - 2u


u¢ × x + u = x(4 - 3u) ,

x(3 - 2u)

u¢ × x = 4-3u -u (3-2u) ,

3 - 2u


 

u¢ × x = 2u -6u +4 .

3 - 2u

Получившееся уравнение оказывается уравнением с разделяю- щимися переменными. Разделяем переменные:


du 2u 2 -6u +4

x = ,


(3 - 2u) du


 

= dx ,


dx 3 - 2u


2u2 - 6u + 4 x


после чего интегрируем:

 

ò


 

 

3 - 2u


 

 

dx

du = ò ,


2u2 - 6u + 4 x


1

- 2 ò


4u - 6 du

2u2 - 6u + 4


= - 1 ò


d(2u -6u +4) =

2u2 - 6u + 4


= - 1 ln 2u2 2


dx

- 6u + 4 + c1 , ò x


= ln


x + c1 .


Получаем общий интеграл:


- 1 ln 2u2 - 6u + 4 = ln 2


x + ln c , где


ln c = c2


c1 .


После потенцирования общий интеграл примет вид


2u2 - 6u + 4 =


1 .

c2 x2


Вернемся к старой функции у, подставив вместо u у :

х


æ у ö2 у


1


2 ç ÷ - 6


+ 4 =


è х ø х


с2 х2


или


2 у2 - 6ху + 4х2 = 1 .

с2


с) В данное уравнение неизвестная функция у и ее произ-

водная у¢ входят в первой степени. Отсюда следует вывод: уравнение является линейным. Будем искать решение линейно- го уравнения в виде произведения двух пока неизвестных


функций u (x) и v (x), т. е.


у = u × v . Найдем производную


у¢ = u¢ × v + u × v¢

и подставим в уравнение (2):

x (u¢ × v + u × v¢) + 2u × v = x2 ,


x × u¢ × v + x × u × v¢ + 2u × v = x2 ,

x × u¢ × v + ( x × u × v¢ + 2u × v) = x2 ,

x × u¢ × v + u ( x × v¢ + 2v) = x2 .

Для нахождения функции v (x) положим:

x × v¢ + 2v = 0 .

Найдем частное решение (для этого положим с = 0) этого

уравнения с разделяющимися переменными:


x dv = -2v ,


dv = -2 dx ,


dx v x

dv dx 1


ò v = -2 ò x ,


ln v = -2 ln x ,


v = .

x2


Для нахождения другой функции u (x) у нас получается

уравнение:


x × u¢ × v = x2 ,


x × u¢ 1

x2


= x2 ,


u¢ = x3 ,


du = x3 , dx


du = x3dx , ò du = ò x3dx ,


u = x


+ c .


Общее решение данного уравнения (2) будет иметь вид


æ x4


ö 1 x2 c


y = u × v = ç + c ÷ = + .


x
ç ÷ 2

è ø


4 x2


Задача 2.Найти частное решение дифференциального уравнения


2х × у¢ - у =


3х2

,

у


удовлетворяющее начальному условию


у (1) = 2 .


Решение:Уравнение Бернулли имеет вид


у¢ + р( х) у = q( x) yn ,


n ¹ 0 ,


n ¹ 1.


Данное уравнение можно записать в виде


у¢ - у

2х


= 3х

2х


у-1 ,


поэтому делаем вывод: данное уравнение является уравнением

Бернулли. Его можно решать тем же методом, что и линейное


уравнение. Будем искать общее решение в виде

у¢ = u¢ × v + u × v¢ ,


у = u × v :


u¢ × v + u × v¢ - u × v =

2x

æ ö


3x ,

2u × v

3


u¢ × v + u ç v¢ -


v ÷ = x ,


è 2x ø


2u × v


v¢ - v


 

= 0 ,


dv = dx , ò dv = 1 ò dx ,


2x v 2x


v 2 x


ln v = 1 ln x ,


 

v = x


 

– одну функцию нашли.


 

u¢ ×


x = 3x ,

2u × x


du = 3 ,

dx 2u


2u du = 3dx , ò 2u du = ò 3dx ,


u2 = 3x + c


 

или


u = 3x + c .


Общее решение уравнения примет вид


 

y = u × v =


 

3x + c × x =


 

3x2 + cx .


Чтобы найти частное решение уравнения, нужно найти значение константы с. Для ее нахождения подставим в общее решение х = 1 и у = 2:


2 = 3×1 + с ×1 =


3 + с ,


4 = 3 + с , с = 1.


Подставив в общее решение значение с = 1, получаем ча-


 

стное решение у =


 

3х2 + х .


 

Задача 3.Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка


 

Решение:


у¢ + 1

х


 

у¢ = х2 .


В данном уравнении второго порядка отсутствует в явном

виде сама функция у. Это уравнение допускает понижение по-


рядка, для чего надо сделать замену уравнение примет вид


у¢ = z (x) . Тогда


у¢ = z¢ и


z¢ + 1 z = х2 . (3)

х

Уравнение (3) оказывается линейным уравнением первого

порядка относительно функции z (x) и решается следующим об- разом:


z = u × v ,

u¢ × v + u × v¢ + u × v = x2 ,


z¢ = u¢ × v + u × v¢ ,

u¢ × v + u ç v¢ + v ÷ = x ,


 

v¢ + v = 0 ,


æ ö

x è x ø 2

dv = - dx , ò dv = -ò dx ,


x

 

ln v = - ln x ,


v x v x

v = 1 ;

x


u¢ 1 = x 2 ,

x


du = x3dx , ò du = ò x3dx ,


u = x

4


 

+ c1 .


Общее решение уравнения (3) примет вид


1 æ x4

z = u× v = ç


ö x3

+ c ÷ =


 

x
+ c1 .


è
ø
x ç 4 1 ÷


 

В начале решения была сделана замена


y¢ = z . Следовательно,


y¢ = x


+ c1 .


4 x

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, по-

лучаем


 

æ x3 dy = ç


c ö

+ 1 ÷ dx ,


x
ç ÷

è ø

æ 3 ö


ç 4
ò dy = ò ç x

è


+ c1 ÷ dx ,

x
÷

ø


x4

y = + c1 ln x + c2 - общее решение данного уравнения.

 

Задача 4.Найти частное решение уравнения

у¢ + 4 у¢ = х2 + 5х ,


удовлетворяющее начальным условиям


у(0) = 1,


у¢(0) = 0 .


 

Решение:

Данное уравнение является линейным дифференциальным

уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами с


правой частью специального вида


f (x) = Pn (x) , где


Pn (x) -


многочлен степени n. Общее решение такого уравнения скла- дывается из общего решения однородного уравнения (правая часть равна нулю) и какого-либо частного решения неоднород- ного уравнения.

Решим сначала однородное уравнение

у¢ + 4 у¢ = 0 .

Составляем характеристическое уравнение

k 2 + 4k = 0 ,


корнями которого будут


k1 = 0


и k2 = -4 .


Соответственно этим корням находим частные решения


y1 = e


k1x


= eox = 1 и


y2 = e


k 2 x


= e-4 x


и общее решение, которое представляет собой линейную ком- бинацию найденных частных решений:


y = c y


+ c y


= c ×1 + c e-4 x .


o.o


1 1 2 2 1 2


Теперь надо найти частное решение неоднородного уравнения.

Пользуясь таблицей, мы будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде


уч.н


= ( Ах2 + Вх + С) х ,


так как правая часть f (x) уравнения представляет собой много- член второй степени, а число 0 является корнем характеристи- ческого уравнения с кратностью s = 1.

Нам остается найти неизвестные пока коэффициенты А, В, С. Для этого найдем первую и вторую производные от уч.н и подставим найденные выражения в данное неоднородное урав- нение:


уч.н


= Ах3 + Вх2 + Сх ,


у¢ = 3Ах2 + 2Вх + С ,


у¢ = 6Ах + 2В ,


 

6 Ах + 2В + 4(3Ах2 + 2Вх + С) = х2 + 5х ,

 

12Ах2 + (6 А + 8В)х + (2В + 4С ) = х2 + 5х .

Из полученного равенства двух многочленов следует ра- венство коэффициентов при одинаковых степенях х в левой и правой частях:

ïì12А = 1;

í6А + 8В = 5;

ïî2В + 4С = 0 .

Решением системы являются:


А = 1 ,


В = 9 ,

16


С = - 9 .

32


Значит, частное решение имеет вид


 

уч.н


= 1 х3 + 9

12 16


 

х2 -


9 х ,

32


а общее решение есть


 

уо.н


 

= уо.о


 

+ уч.н


 

= с1


+ с е- 4 х + 1

12


х3 + 9

16


 

х2 -


9 х .

32


Найдем значения постоянных с1 и с2. Для этого сначала продифференцируем полученное общее решение:

у¢ = -4с е- 4 х + 1 х2 + 9 х - 9 .

2 4 8 32


Теперь подставим


х = 0


в выражения для у и у¢:


у (0) = с1 + с2 = 1,


у¢ (0) = -4с2 -

Решим систему:


 

= 0 .


ïìс1 + с2 = 1,


í- 4с


- 9 = 0 .


 

Найденные


ïî

с = 137

1 128


 

 

и с2


= - 9


 

подставим в общее ре-


137 - 9 е- 4 х + 1 х3 + 9   х2 -
128 128   12 16  
         

 

шение и получим частное решение:

 

у = х .

 

 

Задача 5.Найти общее решение системы линейных диф- ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами пу- тем сведения ее к одному уравнению второго порядка:

ì dx


ï dt

í dy

ï

î dt


= 4x + 2 y,

 

= - x + y .


Решение:

Продифференцируем обе части первого уравнения по пе-

ременной t:

ö
æ dx ¢


ç ÷ = (4x + 2 y


или


x¢ = 4x¢ + 2 y¢ .


è dt ø

Чтобы получить дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции х (t), подставим вместо у¢ ее вы- ражение из второго уравнения системы:

x¢ = 4x¢ + 2(- х + y)


или


x¢ = 4x¢ - 2 х + 2 y . (5)


Из первого уравнения системы найдем 2у:

2 у = х¢ - 4х

и подставим в уравнение (5):

x¢ = 4x¢ - 2 х + х¢ - 4х


или


x¢ - 5х¢ + 6х = 0 .


Полученное уравнение является линейным однородным

уравнением с постоянными коэффициентами. Находим корни соответствующего характеристического уравнения

2t
3t
k 2 - 5k + 6 = 0 ,


k1 = 2 ,


k2 = 3 . Тогда


x1 = e


и x2 = e ,


а x = c1


·x1


+ c2


·x2


= c1


·e2t + c2


· e3t .


Одна из неизвестных функций х (t) найдена. Для нахожде-

ния второй функции у (t) воспользуемся соотношением, полу-

ченным ранее:

у = х¢-4х .


Тогда


x¢ = 2c1


·e2t + 3c


·e3t ,


x¢ - 4х = 2c1


·e2t + 3c2


·e3t - 4c


·e2t - 4c


· e3t = -2c


·e2t - c


·e3t ,


 

y = -c


·e2t - 1 c


 

·

e3t .


1 2 2


Общее решение данной системы имеет вид


ìx = c


·e2t + c


· e3t ,


ï 1

í 2t


1 3t


ïî y = -c1 × e


- c2 × e .


 

 





Дата добавления: 2015-01-25; просмотров: 280 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:



© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.082 с.