Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Лекции.Орг

Поиск:


Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами




 

6.1.Линейное дифференциальное уравнение второго по- рядка с постоянными коэффициентами имеет вид


 

 

где


 

 

p1 и


у¢ + р1 × у¢ + р2 × у =

p2 - числа.


f (x) ,


6.2.Общее решение линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид

уo.o = c1 × y1 + c2 × у2 ,


где


y1 и


y2 - линейно независимые решения.


6.3.Решения линейного однородного уравнения с посто-


янными коэффициентами ищем в виде После подстановки в уравнение


у = еkx ,


k = const .


 

 

решения


 

 

у = еkx


у¢ + р1 × у¢ + р2 × у = 0

получаем характеристическое уравнение


(6.3)


 

k 2 + p

относительно неизвестного k.


 

× k + p2 = 0


Вид общего решения уравнения (6.3) зависит от корней

характеристического уравнения следующим образом (табл. 1).

 

Таблица 1

 

Корни характеристиче- ского уравнения Вид общего решения
Корни различные дейст- вительные k1 ¹ k2 у = с еk1x + c ek2 x о.о. 1 2
Корни действительные равные k1 = k2 = k у = с еkx + c × x × ekx о.о. 1 2
Корни комплексные k1,2 = a ± ib у = с еαx × cosβx + c × eαx × sin βx о.о. 1 2

 

6.4.Общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид

у = уо.о + уч.н ,


где уо.о - общее решение соответствующего однородного уравне-


ния, а


уч.н - частное решение данного неоднородного уравнения.


 

Для подбора частного решения по виду правой части уравнения f (x) и корней характеристического уравнения удоб- но пользоваться табл. 2:

 

Таблица 2

 

Правая часть диф- ференциального уравнения f (x) Корни характеристи- ческого уравнения Вид частного решения
    f (x) = Pn (x) 1. Число 0 не явля- ется корнем ха- рактеристическо- го уравнения   уч.н = Qn (x)
2. Число 0 – корень характеристичес- кого уравнения кратности s     у = xs × Q (x) ч.н n
    f ( x) = eαx × P (x) n 1.Число a не явля- ется корнем ха- рактеристическо- го уравнения     у = eαx × Q (x) ч.н n
  2. Число a – корень характеристиче- ского уравнения кратности s   у = xs × еax × Q (x) ч.н n

Окончание табл. 2

 

Правая часть дифференциаль- ного уравнения f (x) Корни характеристи- ческого уравнения Вид частного решения
    f (x) = А cos βx + + В sin βx 1.Число ± bi не яв- ляется корнем ха- рактеристическо го уравнения yч.н = ~ cos bx + А + ~ sin bx В
2.Число ± bi – ко- рень характерис- тического урав- нения уч.н = = x ( ~ cos bx + А + ~ sin bx) В
    f (x).= =ex(Acosbx+ + В sin βx ) 1.Число a ± ib не является корнем характеристичес- кого уравнения уч.н = = ex( ~ cos bx + А + ~ sin bx) В
2.Число a ± ib – корень характе- ристического уравнения уч.н = = xeax( ~ cos bx + А + ~ sin bx] В

 

 





Дата добавления: 2015-01-25; просмотров: 421 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:



© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.002 с.