6.1. Линейное дифференциальное уравнение второго по- рядка с постоянными коэффициентами имеет вид
где
p 1 и
у ¢ + р 1 × у ¢ + р 2 × у =
p 2 - числа.
f (x),
6.2. Общее решение линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид
у o.o = c 1 × y 1 + c 2 × у2,
где
y 1 и
y 2 - линейно независимые решения.
6.3. Решения линейного однородного уравнения с посто-
янными коэффициентами ищем в виде После подстановки в уравнение
у = еkx,
k = const.
решения
у = еkx
у ¢ + р 1 × у ¢ + р 2 × у = 0
получаем характеристическое уравнение
(6.3)
относительно неизвестного k.
× k + p 2 = 0
Вид общего решения уравнения (6.3) зависит от корней
характеристического уравнения следующим образом (табл. 1).
Таблица 1
| Корни характеристиче- ского уравнения | Вид общего решения |
| Корни различные дейст- вительные k 1 ¹ k 2 | у = с еk 1 x + c ek 2 x о.о. 1 2 |
| Корни действительные равные k 1 = k 2 = k | у = с еkx + c × x × ekx о.о. 1 2 |
| Корни комплексные k 1,2 = a ± i b | у = с е α x × cosβ x + c × e α x × sin β x о.о. 1 2 |
6.4. Общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид
у = у о.о + у ч.н,
где у о.о - общее решение соответствующего однородного уравне-
ния, а
у ч.н - частное решение данного неоднородного уравнения.
Для подбора частного решения по виду правой части уравнения f (x) и корней характеристического уравнения удоб- но пользоваться табл. 2:
Таблица 2
| Правая часть диф- ференциального уравнения f (x) | Корни характеристи- ческого уравнения | Вид частного решения |
| f (x) = Pn (x) | 1. Число 0 не явля- ется корнем ха- рактеристическо- го уравнения | у ч.н = Qn (x) |
| 2. Число 0 – корень характеристичес- кого уравнения кратности s | у = x s × Q (x) ч.н n | |
| f (x) = e α x × P (x) n | 1.Число a не явля- ется корнем ха- рактеристическо- го уравнения | у = e α x × Q (x) ч.н n |
| 2. Число a – корень характеристиче- ского уравнения кратности s | у = xs × е a x × Q (x) ч.н n |
Окончание табл. 2
| Правая часть дифференциаль- ного уравнения f (x) | Корни характеристи- ческого уравнения | Вид частного решения |
| f (x) = А cos βx + + В sin β x | 1.Число ± b i не яв- ляется корнем ха- рактеристическо го уравнения | y ч.н = ~ cos b x + А + ~ sin b x В |
| 2.Число ± b i – ко- рень характерис- тического урав- нения | у ч.н = = x (~ cos b x + А + ~ sin b x) В | |
| f (x).= = ex (A cosb x + + В sin β x) | 1.Число a ± i b не является корнем характеристичес- кого уравнения | у ч.н = = ex (~ cos b x + А + ~ sin b x) В |
| 2.Число a ± i b – корень характе- ристического уравнения | у ч.н = = xe a x (~ cos b x + А + ~ sin b x ] В |
