Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


Ћинейные дифференциальные уравнени€ второго пор€дка с посто€нными коэффициентами




 

6.1. Ћинейное дифференциальное уравнение второго по- р€дка с посто€нными коэффициентами имеет вид


 

 

где


 

 

p 1 и


у ¢ + р 1 × у ¢ + р 2 × у =

p 2 - числа.


f (x),


6.2. ќбщее решение линейного однородного уравнени€ второго пор€дка имеет вид

у o.o = c 1 × y 1 + c 2 × у2,


где


y 1 и


y 2 - линейно независимые решени€.


6.3. –ешени€ линейного однородного уравнени€ с посто-


€нными коэффициентами ищем в виде ѕосле подстановки в уравнение


у = еkx,


k = const.


 

 

решени€


 

 

у = еkx


у ¢ + р 1 × у ¢ + р 2 × у = 0

получаем характеристическое уравнение


(6.3)


 

 
k 2 + p

относительно неизвестного k.


 

× k + p 2 = 0


¬ид общего решени€ уравнени€ (6.3) зависит от корней

характеристического уравнени€ следующим образом (табл. 1).

 

“аблица 1

 

 орни характеристиче- ского уравнени€ ¬ид общего решени€
 орни различные дейст- вительные k 1 ¹ k 2 у = с еk 1 x + c ek 2 x о.о. 1 2
 орни действительные равные k 1 = k 2 = k у = с еkx + c × x × ekx о.о. 1 2
 орни комплексные k 1,2 = a ± i b у = с е α x × cosβ x + c × e α x × sin β x о.о. 1 2

 

6.4. ќбщее решение линейного неоднородного уравнени€ имеет вид

у = у о.о + у ч.н,


где у о.о - общее решение соответствующего однородного уравне-


ни€, а


у ч.н - частное решение данного неоднородного уравнени€.


 

ƒл€ подбора частного решени€ по виду правой части уравнени€ f (x) и корней характеристического уравнени€ удоб- но пользоватьс€ табл. 2:

 

“аблица 2

 

ѕрава€ часть диф- ференциального уравнени€ f (x)  орни характеристи- ческого уравнени€ ¬ид частного решени€
    f (x) = Pn (x) 1. „исло 0 не €вл€- етс€ корнем ха- рактеристическо- го уравнени€   у ч.н = Qn (x)
2. „исло 0 Ц корень характеристичес- кого уравнени€ кратности s     у = x s × Q (x) ч.н n
    f (x) = e α x × P (x) n 1.„исло a не €вл€- етс€ корнем ха- рактеристическо- го уравнени€     у = e α x × Q (x) ч.н n
  2. „исло a Ц корень характеристиче- ского уравнени€ кратности s   у = xs × е a x × Q (x) ч.н n

ќкончание табл. 2

 

ѕрава€ часть дифференциаль- ного уравнени€ f (x)  орни характеристи- ческого уравнени€ ¬ид частного решени€
    f (x) = ј cos βx + + ¬ sin β x 1.„исло ± b i не €в- л€етс€ корнем ха- рактеристическо го уравнени€ y ч.н = ~ cos b x + ј + ~ sin b x ¬
2.„исло ± b i Ц ко- рень характерис- тического урав- нени€ у ч.н = = x (~ cos b x + ј + ~ sin b x) ¬
    f (x).= = ex (A cosb x + + ¬ sin β x) 1.„исло a ± i b не €вл€етс€ корнем характеристичес- кого уравнени€ у ч.н = = ex (~ cos b x + ј + ~ sin b x) ¬
2.„исло a ± i b Ц корень характе- ристического уравнени€ у ч.н = = xe a x (~ cos b x + ј + ~ sin b x ] ¬

 

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-01-25; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 657 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

≈сть только один способ избежать критики: ничего не делайте, ничего не говорите и будьте никем. © јристотель
==> читать все изречени€...

1394 - | 1343 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.009 с.