Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

 

6.1. Линейное дифференциальное уравнение второго по- рядка с постоянными коэффициентами имеет вид

 

 

где

 

 

p 1 и

у ¢ + р 1 × у ¢ + р 2 × у =

p 2 - числа.

f (x),

6.2. Общее решение линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид

у o.o = c 1 × y 1 + c 2 × у2,

где

y 1 и

y 2 - линейно независимые решения.

6.3. Решения линейного однородного уравнения с посто-

янными коэффициентами ищем в виде После подстановки в уравнение

у = еkx,

k = const.

 

 

решения

 

 

у = еkx

у ¢ + р 1 × у ¢ + р 2 × у = 0

получаем характеристическое уравнение

(6.3)

 

k 2 + p

относительно неизвестного k.

 

× k + p 2 = 0

Вид общего решения уравнения (6.3) зависит от корней

характеристического уравнения следующим образом (табл. 1).

 

Таблица 1

 

Корни характеристиче- ского уравнения	Вид общего решения
Корни различные дейст- вительные k 1 ¹ k 2	у = с еk 1 x + c ek 2 x о.о. 1 2
Корни действительные равные k 1 = k 2 = k	у = с еkx + c × x × ekx о.о. 1 2
Корни комплексные k 1,2 = a ± i b	у = с е α x × cosβ x + c × e α x × sin β x о.о. 1 2

 

6.4. Общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид

у = у о.о + у ч.н,

где у о.о - общее решение соответствующего однородного уравне-

ния, а

у ч.н - частное решение данного неоднородного уравнения.

 

Для подбора частного решения по виду правой части уравнения f (x) и корней характеристического уравнения удоб- но пользоваться табл. 2:

 

Таблица 2

 

Правая часть диф- ференциального уравнения f (x)	Корни характеристи- ческого уравнения	Вид частного решения
f (x) = Pn (x)	1. Число 0 не явля- ется корнем ха- рактеристическо- го уравнения	у ч.н = Qn (x)
2. Число 0 – корень характеристичес- кого уравнения кратности s	у = x s × Q (x) ч.н n
f (x) = e α x × P (x) n	1.Число a не явля- ется корнем ха- рактеристическо- го уравнения	у = e α x × Q (x) ч.н n
	2. Число a – корень характеристиче- ского уравнения кратности s	у = xs × е a x × Q (x) ч.н n

Окончание табл. 2

 

Правая часть дифференциаль- ного уравнения f (x)	Корни характеристи- ческого уравнения	Вид частного решения
f (x) = А cos βx + + В sin β x	1.Число ± b i не яв- ляется корнем ха- рактеристическо го уравнения	y ч.н = ~ cos b x + А + ~ sin b x В
2.Число ± b i – ко- рень характерис- тического урав- нения	у ч.н = = x (~ cos b x + А + ~ sin b x) В
f (x).= = ex (A cosb x + + В sin β x)	1.Число a ± i b не является корнем характеристичес- кого уравнения	у ч.н = = ex (~ cos b x + А + ~ sin b x) В
2.Число a ± i b – корень характе- ристического уравнения	у ч.н = = xe a x (~ cos b x + А + ~ sin b x ] В