Нормальные системы дифференциальных уравнений

 

7.1. Система дифференциальных уравнений называется нормальной, если в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных. Нормальная система линейных дифференциальных уравнений для двух функций х (t) и у (t) имеет вид

ì dx

ï dt

í dy

 

= a 11 x + a 12 y,

 

 

(7.1)

ï

î dt

= a 21

x + a 22 y.

 

7.2. Систему (7.1) можно решить путем сведения ее к од- ному уравнению второго порядка. Для этого продифференциру- ем первое уравнение системы по переменной t:

d x = a

dx + a

dy,

dt 2

11 dt

12 dt

 

затем вместо

dy подставим его выражение из второго уравне-

dt

ния системы. В полученное уравнение

d x - a

dx - a

 

(а х + а

 

у) = 0

dt 2

11 dt

12 21 22

подставим вместо у его выражение через х и уравнения системы

dх из первого

dt

у = 1

æ dx - a

x ö. (7.2)

ç

а 12 è dt

11 ÷

ø

Окончательно получаем дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции х (t):

х ¢ - (а 11 + а 22) х ¢ + (а 11 × а 22 - а 12 × а 21) х = 0.

Вторую функцию у (t) найдем, пользуясь уравнением (7.2).

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

 

1. Дайте определения дифференциального уравнения пер- вого порядка и его общего и частного решения (интеграла).

Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравне- ния первого порядка и укажите ее геометрический смысл.

2. Дайте геометрическое истолкование дифференциально- го уравнения первого порядка, выясните геометрический смысл

общего и частного решения.

3. Сформулируйте теорему о существовании и единствен-

ности решения дифференциального уравнения первого порядка.

4. Дайте определение дифференциального уравнения с

разделяющимися переменными. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите примеры.

5. Дайте определение однородного дифференциального- уравнения первого порядка. Изложите метод нахождения его

общего решения. Приведите примеры.

6. Дайте определение линейного дифференциального

уравнения первого порядка. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите примеры.

7. Дайте определение уравнения Бернулли. Изложите ме- тод нахождения его общего решения. Приведите примеры.

8. Что называется особым решением дифференциального уравнения первого порядка?

9. Дайте определения дифференциального уравнения вто- рого порядка и его общего и частного решения. Сформулируйте

теорему о существовании и единственности решения диффе- ренциального уравнения второго порядка.

10. Изложите метод решения дифференциального уравне-

ния

у ¢ =

f (x). Приведите пример.

11. Изложите метод решения дифференциального уравне-

ния

у ¢ =

f (x, y ¢). Приведите пример.

12. Изложите метод решения дифференциального уравне-

ния

у ¢ =

f (у, y ¢). Приведите пример.

13. Дайте определение линейного дифференциального уравнения второго порядка (однородного и неоднородного).

Сформулируйте основные свойства частных решений линейно- го однородного дифференциального уравнения.

14. Выведите формулу общего решения линейного одно- родного дифференциального уравнения второго порядка с по-

стоянными коэффициентами, если характеристическое уравне- ние имеет два различных действительных корня. Приведите

пример.

15. Выведите формулу общего решения линейного одно-

родного дифференциального уравнения второго порядка с по- стоянными коэффициентами, если характеристическое уравне- ние имеет два одинаковых действительных корня. Приведите пример.

16. Выведите формулу общего решения линейного одно- родного дифференциального уравнения второго порядка с по- стоянными коэффициентами, если характеристическое уравне- ние имеет комплексные корни. Приведите пример.

17. Изложите правило нахождения частного решения ли- нейного неоднородного дифференциального уравнения с посто- янными коэффициентами, если его правая часть имеет вид

n

е α х × Р (x), где

Рn (x)

– многочлен степени n.

18. Изложите правило нахождения частного решения ли- нейного неоднородного дифференциального уравнения с посто- янными коэффициентами, если его правая часть имеет вид

е α х (A cosβ x + B sin β x).

19. Что называется нормальной системой дифференциаль- ных уравнений первого порядка?

20. Изложите метод нахождения общего решения нор-

мальной системы дифференциальных уравнений первого по- рядка путем сведения системы к одному дифференциальному уравнению.