Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


Ќормальные системы дифференциальных уравнений




 

7.1. —истема дифференциальных уравнений называетс€ нормальной, если в левой части уравнений сто€т производные первого пор€дка, а правые части не содержат производных. Ќормальна€ система линейных дифференциальных уравнений дл€ двух функций х (t) и у (t) имеет вид


ì dx

ï dt

í dy


 

= a 11 x + a 12 y,


 

 

(7.1)


ï

î dt


= a 21


x + a 22 y.


 

7.2. —истему (7.1) можно решить путем сведени€ ее к од- ному уравнению второго пор€дка. ƒл€ этого продифференциру- ем первое уравнение системы по переменной t:


d x = a


dx + a


dy,


dt 2


11 dt


12 dt


 

затем вместо


dy подставим его выражение из второго уравне-

dt


ни€ системы. ¬ полученное уравнение


d x - a


dx - a


 

(а х + а


 

у) = 0


dt 2


11 dt


12 21 22


подставим вместо у его выражение через х и уравнени€ системы


из первого

dt


у = 1


æ dx - a


x ö. (7.2)


ç

а 12 è dt


11 ÷

ø


ќкончательно получаем дифференциальное уравнение второго пор€дка относительно функции х (t):

х ¢ - (а 11 + а 22) х ¢ + (а 11 × а 22 - а 12 × а 21) х = 0.

¬торую функцию у (t) найдем, пользу€сь уравнением (7.2).

 

¬ќѕ–ќ—џ ƒЋя —јћќѕ–ќ¬≈– »

 

1. ƒайте определени€ дифференциального уравнени€ пер- вого пор€дка и его общего и частного решени€ (интеграла).


—формулируйте задачу  оши дл€ дифференциального уравне- ни€ первого пор€дка и укажите ее геометрический смысл.

2. ƒайте геометрическое истолкование дифференциально- го уравнени€ первого пор€дка, вы€сните геометрический смысл

общего и частного решени€.

3. —формулируйте теорему о существовании и единствен-

ности решени€ дифференциального уравнени€ первого пор€дка.

4. ƒайте определение дифференциального уравнени€ с

раздел€ющимис€ переменными. »зложите метод нахождени€ его общего решени€. ѕриведите примеры.

5. ƒайте определение однородного дифференциального- уравнени€ первого пор€дка. »зложите метод нахождени€ его

общего решени€. ѕриведите примеры.

6. ƒайте определение линейного дифференциального

уравнени€ первого пор€дка. »зложите метод нахождени€ его общего решени€. ѕриведите примеры.

7. ƒайте определение уравнени€ Ѕернулли. »зложите ме- тод нахождени€ его общего решени€. ѕриведите примеры.

8. „то называетс€ особым решением дифференциального уравнени€ первого пор€дка?

9. ƒайте определени€ дифференциального уравнени€ вто- рого пор€дка и его общего и частного решени€. —формулируйте

теорему о существовании и единственности решени€ диффе- ренциального уравнени€ второго пор€дка.

10. »зложите метод решени€ дифференциального уравне-


ни€


у ¢ =


f (x). ѕриведите пример.


11. »зложите метод решени€ дифференциального уравне-


ни€


у ¢ =


f (x, y ¢). ѕриведите пример.


12. »зложите метод решени€ дифференциального уравне-


ни€


у ¢ =


f (у, y ¢). ѕриведите пример.


13. ƒайте определение линейного дифференциального уравнени€ второго пор€дка (однородного и неоднородного).


—формулируйте основные свойства частных решений линейно- го однородного дифференциального уравнени€.

14. ¬ыведите формулу общего решени€ линейного одно- родного дифференциального уравнени€ второго пор€дка с по-

сто€нными коэффициентами, если характеристическое уравне- ние имеет два различных действительных корн€. ѕриведите

пример.

15. ¬ыведите формулу общего решени€ линейного одно-

родного дифференциального уравнени€ второго пор€дка с по- сто€нными коэффициентами, если характеристическое уравне- ние имеет два одинаковых действительных корн€. ѕриведите пример.

16. ¬ыведите формулу общего решени€ линейного одно- родного дифференциального уравнени€ второго пор€дка с по- сто€нными коэффициентами, если характеристическое уравне- ние имеет комплексные корни. ѕриведите пример.

17. »зложите правило нахождени€ частного решени€ ли- нейного неоднородного дифференциального уравнени€ с посто- €нными коэффициентами, если его права€ часть имеет вид


n
е α х × (x), где


–n (x)


Ц многочлен степени n.


18. »зложите правило нахождени€ частного решени€ ли- нейного неоднородного дифференциального уравнени€ с посто- €нными коэффициентами, если его права€ часть имеет вид

е α х (A cosβ x + B sin β x).

19. „то называетс€ нормальной системой дифференциаль- ных уравнений первого пор€дка?

20. »зложите метод нахождени€ общего решени€ нор-

мальной системы дифференциальных уравнений первого по- р€дка путем сведени€ системы к одному дифференциальному уравнению.






ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-01-25; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 697 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—вобода ничего не стоит, если она не включает в себ€ свободу ошибатьс€. © ћахатма √анди
==> читать все изречени€...

456 - | 410 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.013 с.