2.1.Уравнение вида
P(х)dx + Q( y) dy = 0
называется уравнением с разделенными переменными.
Важно: при dx стоит функция, зависящая только от х,
при dy – зависящая только от у. Общий интеграл такого уравнения
ò Р( х)dx + ò Q( y)dy = c .
2.2.Дифференциальное уравнение вида
у¢ =
f ( х, y)
называется уравнением с разделяющимися переменными, если функция
f (х, y)
допускает представление в виде произведения двух функций,
каждая из которых зависит только от одной переменной, т. е.
у¢ =
f1(x) × f2 ( y) .
Для решения уравнения нужно разделить переменные следующим образом: сначала представить производную у¢ в ви- де отношения дифференциалов
dy
у¢ = =
dx
f1( x) × f2 ( y) ,
затем умножить обе части равенства на dx и разделить на В результате получим
f2 ( y) .
dy =
f2 ( у)
f1(x) × dx -
уравнение с разделенными переменными.
2.3.Уравнение вида
P(х, у)dx + Q(х, y) dy = 0
называется уравнением с разделяющимися переменными, если
обе функции -
P(х, у)
и Q(х, y) допускают такое же представ-
ление в виде произведения двух сомножителей, каждый из ко- торых зависит только от одной переменной:
Р1(x)P2 ( y)dx + Q1(x)Q2 ( y)dy = 0 .
Разделение переменных приводит к такому уравнению:
P1( x) dx + Q2 ( y) dy = 0 ,
Q1(x)
которое затем интегрируется.
P2 ( у)
Следует заметить, что в процессе разделения переменных
при делении обеих частей уравнения на выражение, содержа- щее неизвестные х и у, могут быть потеряны решения, обра- щающие это выражение в нуль.