2.1. Уравнение вида
P (х) dx + Q (y) dy = 0
называется уравнением с разделенными переменными.
Важно: при dx стоит функция, зависящая только от х,
при dy – зависящая только от у. Общий интеграл такого уравнения
ò Р (х) dx + ò Q (y) dy = c.
2.2. Дифференциальное уравнение вида
у ¢ =
f (х, y)
называется уравнением с разделяющимися переменными, если функция
f (х, y)
допускает представление в виде произведения двух функций,
каждая из которых зависит только от одной переменной, т. е.
у ¢ =
f 1(x) × f 2 (y).
Для решения уравнения нужно разделить переменные следующим образом: сначала представить производную у ¢ в ви- де отношения дифференциалов
dy
у ¢ = =
dx
f 1(x) × f 2 (y),
затем умножить обе части равенства на dx и разделить на В результате получим
f 2 (y).
dy =
f 2 (у)
f 1(x) × dx -
уравнение с разделенными переменными.
2.3. Уравнение вида
P (х, у) dx + Q (х, y) dy = 0
называется уравнением с разделяющимися переменными, если
обе функции -
P (х, у)
и Q (х, y) допускают такое же представ-
ление в виде произведения двух сомножителей, каждый из ко- торых зависит только от одной переменной:
Р 1(x) P 2 (y) dx + Q 1(x) Q 2 (y) dy = 0.
Разделение переменных приводит к такому уравнению:
P 1(x) dx + Q 2 (y) dy = 0,
Q 1(x)
которое затем интегрируется.
P 2 (у)
Следует заметить, что в процессе разделения переменных
при делении обеих частей уравнения на выражение, содержа- щее неизвестные х и у, могут быть потеряны решения, обра- щающие это выражение в нуль.
