Лекции.Орг


Поиск:




Однородные дифференциальные уравнения




 

3.1. Функция f (x, y) называется однородной функцией сво- их аргументов порядка n, если имеет место тождество

f (tx, ty) º t n f (x, y),


где t – параметр. При


n = 0


получаем однородную функцию ну-


левого порядка, для которой имеет место соотношение


f (tx, ty) =


f (x, y).


 

Например, функция


 

f (x, y) = x 2 - xy


 

есть однородная функция


второго порядка, так как

f (tx, ty) = (tx)2 - (tx) × (ty) = t 2 (x 2 - xy) = t 2 × f (x, y),


 

а функция


f (x, y) = 4 x - 9 y

x + 7 y


 

есть однородная функция нулево-


го порядка, так как

f (tx, ty) = 4( tx )-9( ty ) = t (4 x -9 y) = 4 x -9 y =


 

 

f (x, y).


tx + 7(ty)


t (x + 7 y)


x + 7 y


3.2. Дифференциальное уравнение вида


у ¢ =


f (х, y)


называется однородным, если функция


f (х, y)


есть однород-


ная функция нулевого порядка. Если дифференциальное урав- нение записано в виде

P (х, у) dx + Q (х, y) dy = 0,


то оно называется однородным, если обе функции


Р (х, у) и


Q (х, у)

порядка.


являются однородными функциями одного и того же


3.3. Однородное уравнение решают с помощью введения вместо неизвестной функции у (х) новой функции u (х) следую- щим образом:


u = y x


 

или


 

y = u × x.


В результате такой замены уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

3.4. Следует заметить, что если правая часть дифференци- ального уравнения может быть представлена в виде функции от

æ y ö


 

частного


у, т. е.

х


 

f (x, y) = jç

è


 

÷, то это уравнение является од-

x ø


нородным.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-01-25; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 447 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

В моем словаре нет слова «невозможно». © Наполеон Бонапарт
==> читать все изречения...

590 - | 544 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.009 с.