Однородные дифференциальные уравнения
Лекции.Орг

Поиск:


Однородные дифференциальные уравнения




 

3.1.Функция f (x, y) называется однородной функцией сво- их аргументов порядка n, если имеет место тождество

f (tx,ty) º t n f ( x, y) ,


где t – параметр. При


n = 0


получаем однородную функцию ну-


левого порядка, для которой имеет место соотношение


f (tx,ty) =


f (x, y) .


 

Например, функция


 

f ( x, y) = x2 - xy


 

есть однородная функция


второго порядка, так как

f (tx,ty) = (tx)2 - (tx) × (ty) = t 2 ( x2 - xy) = t 2 × f ( x, y) ,


 

а функция


f ( x, y) = 4x - 9 y

x + 7 y


 

есть однородная функция нулево-


го порядка, так как

f (tx,ty) = 4(tx)-9(ty) = t(4x -9y) = 4x -9y =


 

 

f ( x, y) .


tx + 7(ty)


t(x + 7 y)


x + 7 y


3.2.Дифференциальное уравнение вида


у¢ =


f ( х, y)


называется однородным, если функция


f (х, y)


есть однород-


ная функция нулевого порядка. Если дифференциальное урав- нение записано в виде

P(х, у)dx + Q(х, y) dy = 0 ,


то оно называется однородным, если обе функции


Р(х, у) и


Q(х, у)

порядка.


являются однородными функциями одного и того же


3.3.Однородное уравнение решают с помощью введения вместо неизвестной функции у (х) новой функции u (х) следую- щим образом:


u = y x


 

или


 

y = u × x .


В результате такой замены уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

3.4.Следует заметить, что если правая часть дифференци- ального уравнения может быть представлена в виде функции от

æ y ö


 

частного


у , т. е.

х


 

f ( x, y) = jç

è


 

÷ , то это уравнение является од-

x ø


нородным.

 





Дата добавления: 2015-01-25; просмотров: 296 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:



© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.002 с.