3.1. Функция f (x, y) называется однородной функцией сво- их аргументов порядка n, если имеет место тождество
f (tx, ty) º t n f (x, y),
где t – параметр. При
n = 0
получаем однородную функцию ну-
левого порядка, для которой имеет место соотношение
f (tx, ty) =
f (x, y).
Например, функция
f (x, y) = x 2 - xy
есть однородная функция
второго порядка, так как
f (tx, ty) = (tx)2 - (tx) × (ty) = t 2 (x 2 - xy) = t 2 × f (x, y),
а функция
f (x, y) = 4 x - 9 y
x + 7 y
есть однородная функция нулево-
го порядка, так как
f (tx, ty) = 4( tx )-9( ty ) = t (4 x -9 y) = 4 x -9 y =
f (x, y).
tx + 7(ty)
t (x + 7 y)
x + 7 y
3.2. Дифференциальное уравнение вида
у ¢ =
f (х, y)
называется однородным, если функция
f (х, y)
есть однород-
ная функция нулевого порядка. Если дифференциальное урав- нение записано в виде
P (х, у) dx + Q (х, y) dy = 0,
то оно называется однородным, если обе функции
Р (х, у) и
Q (х, у)
порядка.
являются однородными функциями одного и того же
3.3. Однородное уравнение решают с помощью введения вместо неизвестной функции у (х) новой функции u (х) следую- щим образом:
u = y x
или
y = u × x.
В результате такой замены уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
3.4. Следует заметить, что если правая часть дифференци- ального уравнения может быть представлена в виде функции от
æ y ö
частного
у, т. е.
х
f (x, y) = jç
è
÷, то это уравнение является од-
x ø
нородным.
