Однородные дифференциальные уравнения

 

3.1. Функция f (x, y) называется однородной функцией сво- их аргументов порядка n, если имеет место тождество

f (tx, ty) º t n f (x, y),

где t – параметр. При

n = 0

получаем однородную функцию ну-

левого порядка, для которой имеет место соотношение

f (tx, ty) =

f (x, y).

 

Например, функция

 

f (x, y) = x 2 - xy

 

есть однородная функция

второго порядка, так как

f (tx, ty) = (tx)2 - (tx) × (ty) = t 2 (x 2 - xy) = t 2 × f (x, y),

 

а функция

f (x, y) = 4 x - 9 y

x + 7 y

 

есть однородная функция нулево-

го порядка, так как

f (tx, ty) = 4( tx )-9( ty ) = t (4 x -9 y) = 4 x -9 y =

 

 

f (x, y).

tx + 7(ty)

t (x + 7 y)

x + 7 y

3.2. Дифференциальное уравнение вида

у ¢ =

f (х, y)

называется однородным, если функция

f (х, y)

есть однород-

ная функция нулевого порядка. Если дифференциальное урав- нение записано в виде

P (х, у) dx + Q (х, y) dy = 0,

то оно называется однородным, если обе функции

Р (х, у) и

Q (х, у)

порядка.

являются однородными функциями одного и того же

3.3. Однородное уравнение решают с помощью введения вместо неизвестной функции у (х) новой функции u (х) следую- щим образом:

u = y x

 

или

 

y = u × x.

В результате такой замены уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

3.4. Следует заметить, что если правая часть дифференци- ального уравнения может быть представлена в виде функции от

æ y ö

 

частного

у, т. е.

х

 

f (x, y) = jç

è

 

÷, то это уравнение является од-

x ø

нородным.