Задача
Двухопорная балка постоянного поперечного сечения нагружена заданной системой поперечных сил и изгибающих моментов.
1. Для данной балки, изготовленной из пластичного материала с допускаемым напряжением 
, подобрать из условия прочности двутавровое, прямоугольное (h/b=2) и круглое сечения. Дать заключение о рациональности формы сечения по расходу материала.
2. Для данной балки, изготовленной из хрупкого материала с допускаемыми напряжениями 
, 
, определить из условия прочности характерный размер 
сложного поперечного сечения, предварительно решив вопрос о его рациональном положении. Принять: , .
Решение
1. Рассмотрим первый случай, когда балка изготовлена из пластичного материала.
Построим эпюры поперечной силы 
и изгибающего момента 
:
По эпюре определяем положение опасного сечения – сечение К наиболее опасно, 
.
Подберем из условия прочности размеры трех форм сечений: двутаврового, прямоугольного и круглого. Для этого, прежде всего, найдем из условия прочности, каким минимальным моментом сопротивления должно обладать поперечное сечение балки:
.
Далее, для каждой из трех форм сечений выразим момент сопротивления с геометрической точки зрения через характерный размер сечения и, приравняв его к расчетному моменту сопротивления 
, определим характерный размер.
а) Двутавровое сечение:
Тонкостенные профили: двутавры, швеллеры, уголки выпускаются промышленностью определенных стандартных размеров. Номер профиля соответствует его высоте, выраженной в сантиметрах. Все характерные размеры таких профилей, а также их геометрические характеристики (в том числе и 
) сведены в таблицы, которые называются «Сортаментом прокатных профилей» (см. Приложение 5, стр.119). Нам остается лишь по сортаменту указать номер двутавра, у которого момент сопротивления ближайший больший к расчетному: по сортаменту (ГОСТ 8239-89) подходит двутавр №27а, у которого 
, а площадь сечения 
.
б) Прямоугольное сечение (h/b =2):
Нейтральная линия прямоугольника – главная центральная ось 
. Расстояние от нейтральной линии до наиболее удаленных точек сечения 
. Тогда 
. Учитывая, что 
, выразим момент сопротивления прямоугольника через характерный размер b: 
. Приравняв его к расчетному значению, находим минимально допустимый размер прямоугольника:
,
тогда площадь прямоугольника: 
.
в) Круглое сечение:
Здесь все аналогично: нейтральная линия – ось , 
. Тогда
.
Площадь круглого сечения: 
.
Наиболее рациональной формой сечения по расходу материала является та, которая имеет наименьшую площадь:
< 
< 
.
Следовательно, двутавровое сечение является наиболее рациональным.
2. Рассмотрим балку из хрупкого материала и подберем из условия прочности характерный размер заданного сложного сечения, геометрические характеристики которого были определены в Теме 3.
Нейтральная линия сечения – главная центральная ось 
, проходящая через центр тяжести. Она делит всё сечение на две зоны – растянутых и сжатых волокон. Учитывая правило знаков для эпюры изгибающих моментов (строится на растянутых волокнах), легко определить расположение соответствующих зон в опасном сечении. На эпюре в опасном сечении К ордината 
расположена выше осевой линии, следовательно, в этом сечении сверху от нейтральной линии расположены растянутые волокна, а снизу – сжатые. Определим расстояния от нейтральной линии до наиболее удаленных точек сечения в зонах растяжения и сжатия: 
и 
, учитывая положение центра тяжести сечения (см стр.31):
Решим вопрос о рациональности расположения сечения. Поскольку > , а 
< 
, значит сечение расположено нерационально и его нужно перевернуть на 
:
Теперь условие рациональности выполняется:
> 
.
Определим положение опасного волокна в опасном сечении:
< 
,
следовательно, согласно условию (2) алгоритма опасным является наиболее растянутое волокно.
Запишем условие прочности для растянутого волокна и определим характерный размер сложного сечения , учитывая ранее определенное значение момента инерции 
.
.
Задача решена. 
