Задача
Стержень круглого поперечного сечения нагружен осевыми силами. Произвести проверку прочности и жесткости стержня, построив эпюры продольной силы N, нормальных напряжений 
и перемещений 
. Спроектировать стержень круглого поперечного сечения равного сопротивления растяжению-сжатию. Принять: 
=160 МПа, Е = 
МПа.
Решение
1. Построим эпюру продольных сил, используя метод сечений.
2. Определим нормальные напряжения в характерных сечениях на выделенных участках стержня:
Участок (0-1)
Во всех сечениях данного участка в силу постоянства значения продольной силы и площади поперечного сечения нормальное напряжение будет одинаковым.
Участок (1-2)
На участке (1-2), как и на предыдущем участке, в результате постоянства продольной силы и площади поперечного сечения напряжение будет постоянным по величине.
Участок (2-3)
.
Во всех промежуточных сечениях участка (2-3) напряжение меняется по линейному закону соответственно закону изменения продольной силы.
3. По полученным значениям построим эпюру напряжений, соблюдая характер зависимости на участках соответственно эпюре продольной силы.
4. Проведем проверку прочности 
. Т.к. максимальное напряжение по модулю получилось равным 125 МПа, а [ s ]=160 МПа, то можно сделать следующий вывод: брус прочен, но не экономичен. Превышение нормативного коэффициента запаса по текучести в сечении «2» составляет 9,6/1,5=6,4, где 9,6 – коэффициент запаса по текучести в сечении «2», а 1,5 – нормативный коэффициент запаса.
5. Рассчитаем абсолютные линейные деформации участков стержня, приняв начало координат в жесткой заделке (сечение «0»). На участках с постоянным значением напряжения по длине можно использовать формулу: 
, т.е. на участках (0-1) и (1-2):
.
На участке (2-3) продольная сила и напряжение меняются по линейному закону, и абсолютная линейная деформация определяется по интегральной формуле: 
, т.е.
.
Характер изменения величины абсолютной деформации на участке (2-3), как видим, получился параболический.
6. Определим перемещения характерных сечений «1», «2», «3» относительно неподвижного сечения «0» и построим эпюру перемещений на базе, параллельной продольной оси стержня:
, 
7. Проведем проверку жесткости: 
. Из расчетов 
, 
(на основании закона Гука).
<< 
.
Т.е. очевидно, что величина максимального перемещения значительно меньше допускаемого и стержень обладает избыточной жесткостью.
8. Спроектируем рациональную конструкцию с точки зрения экономии расхода материала. Такой конструкцией является стержень равного сопротивления, у которого на всех участках напряжение одинаково и равно допускаемому значению: 
. Из этого условия выразим диаметр i-того участка стержня: 
, откуда 
. Подставляя с эпюры продольной силы ее значения по участкам (0-1), (1-2), получим, соответственно, значения диаметров цилиндрических участков: 
, 
. Цилиндрическая форма обусловлена постоянством продольной силы на соответствующих участках. На участке (2-3) в силу того, что N носит переменный характер, изменяясь по линейному закону, для осуществления условия равной прочности форма участка должна быть конической. Определим два значения диаметра по величине продольной силы в начале (N =-10 кН) и в конце (N =-20 кН) участка. Получим соответственно диаметры: 
.
9. Соответственно форма участка (2-3) представляет собой усеченный конус. По полученным значениям диаметров построим эскиз стержня равного сопротивления.
Задача решена. 
