Пример решения задачи. Стержень круглого поперечного сечения нагружен осевыми силами

Задача

Стержень круглого поперечного сечения нагружен осевыми силами. Произвести проверку прочности и жесткости стержня, построив эпюры продольной силы N, нормальных напряжений и перемещений . Спроектировать стержень круглого поперечного сечения равного сопротивления растяжению-сжатию. Принять: =160 МПа, Е = МПа.

Решение

 

1. Построим эпюру продольных сил, используя метод сечений.

 

2. Определим нормальные напряжения в характерных сечениях на выделенных участках стержня:

Участок (0-1)

Во всех сечениях данного участка в силу постоянства значения продольной силы и площади поперечного сечения нормальное напряжение будет одинаковым.

Участок (1-2)

На участке (1-2), как и на предыдущем участке, в результате постоянства продольной силы и площади поперечного сечения напряжение будет постоянным по величине.

Участок (2-3)

.

Во всех промежуточных сечениях участка (2-3) напряжение меняется по линейному закону соответственно закону изменения продольной силы.

3. По полученным значениям построим эпюру напряжений, соблюдая характер зависимости на участках соответственно эпюре продольной силы.

4. Проведем проверку прочности . Т.к. максимальное напряжение по модулю получилось равным 125 МПа, а [ s ]=160 МПа, то можно сделать следующий вывод: брус прочен, но не экономичен. Превышение нормативного коэффициента запаса по текучести в сечении «2» составляет 9,6/1,5=6,4, где 9,6 – коэффициент запаса по текучести в сечении «2», а 1,5 – нормативный коэффициент запаса.

5. Рассчитаем абсолютные линейные деформации участков стержня, приняв начало координат в жесткой заделке (сечение «0»). На участках с постоянным значением напряжения по длине можно использовать формулу: , т.е. на участках (0-1) и (1-2):

.

На участке (2-3) продольная сила и напряжение меняются по линейному закону, и абсолютная линейная деформация определяется по интегральной формуле: , т.е.

.

Характер изменения величины абсолютной деформации на участке (2-3), как видим, получился параболический.

6. Определим перемещения характерных сечений «1», «2», «3» относительно неподвижного сечения «0» и построим эпюру перемещений на базе, параллельной продольной оси стержня:

,

7. Проведем проверку жесткости: . Из расчетов , (на основании закона Гука).

<< .

Т.е. очевидно, что величина максимального перемещения значительно меньше допускаемого и стержень обладает избыточной жесткостью.

8. Спроектируем рациональную конструкцию с точки зрения экономии расхода материала. Такой конструкцией является стержень равного сопротивления, у которого на всех участках напряжение одинаково и равно допускаемому значению: . Из этого условия выразим диаметр i-того участка стержня: , откуда . Подставляя с эпюры продольной силы ее значения по участкам (0-1), (1-2), получим, соответственно, значения диаметров цилиндрических участков: , . Цилиндрическая форма обусловлена постоянством продольной силы на соответствующих участках. На участке (2-3) в силу того, что N носит переменный характер, изменяясь по линейному закону, для осуществления условия равной прочности форма участка должна быть конической. Определим два значения диаметра по величине продольной силы в начале (N =-10 кН) и в конце (N =-20 кН) участка. Получим соответственно диаметры: .

9. Соответственно форма участка (2-3) представляет собой усеченный конус. По полученным значениям диаметров построим эскиз стержня равного сопротивления.

Задача решена.