Задача
Для заданного сложного сечения определить положение центра тяжести и найти главные центральные моменты инерции.
Решение
Сечение имеет одну ось симметрии, следовательно, она является главной центральной осью (у) и центр тяжести сечения лежит на этой оси. Вторая главная центральная ось (х) перпендикулярна первой и проходит через центр тяжести сечения. Определим положение центра тяжести сложного сечения по оси у. Для этого:
· разобьем сложное сечение на простейшие, его составляющие: прямоугольник (1), квадрат (2) и полукруг (3);
· отметим центры тяжести простейших сечений точками С1, С2, и С3, соответственно. Центры тяжести прямоугольника и квадрата лежат на пересечении их диагоналей, а у полукруга он смещен от его основания на расстояние, равное 
. Проведем горизонтальные оси х1, х2, х3 через точки С1, С2, и С3, соответственно. Эти оси являются главными центральными осями простейших сечений;
· выберем вспомогательную систему координат, относительно которой будем находить положение центра тяжести всей фигуры. Свяжем её, например, с центром тяжести прямоугольника, т.е. х1Оу – вспомогательная система координат;
· определим ординаты точек С1, С2, и С3 в выбранной системе координат:
, 
, 
;
· найдем площади простейших фигур:
для прямоугольника 
,
для квадрата 
,
для полукруга 
;
· найдем статические моменты простейших фигур относительно вспомогательной оси х1:
,
,
;
· подставим найденные значения в формулу для определения координаты общего центра тяжести:
.
Знак «–» у вторых слагаемых числителя и знаменателя формулы означает, что вторая фигура (квадрат) не входит в сложное сечение (является отверстием, «вынимается» из прямоугольника).
· отложим по оси у от вспомогательной оси х1 вниз отрезок, равный 1,22 а, и нанесем точку С – общий центр тяжести сложного сечения. Проведем через точку С ось х – вторую главную центральную ось сложного сечения. Таким образом, оси х и у – главные центральные оси сложного сечения.
Найдем теперь относительно этих осей главные центральные моменты инерции Ix и Iy. Сначала определим момент Ix. Для этого:
· Найдем расстояния между общей осью х и параллельной ей осью каждой простейшей фигуры х1, х2, х3, соответственно, т.е. отрезки СС1, СС2 и СС3:
· Определим осевые моменты инерции простейших фигур относительно их главных центральных осей:
– для прямоугольника,
– для квадрата,
– для полукруга.
· Пересчитаем их относительно общей главной центральной оси х, воспользовавшись теоремой о параллельном переносе осей:
· Сложим найденные величины, согласно теореме о сложении моментов инерции. Таким образом, главный центральный момент инерции сложного сечения относительно оси х равен:
Найдем теперь главный центральный момент инерции относительно оси у. Здесь расчеты будут несколько проще, поскольку все центры тяжести лежат на этой оси и она является главной центральной осью как простых фигур, так и всей сложной, т.е. оси у1, у2, у3 и у совпадают, а следовательно не нужно применять теорему о параллельном переносе осей, достаточно воспользоваться теоремой о сложении моментов инерции и соответствующими формулами для простейших фигур:
Здесь для полукруга мы воспользовались формулой момента инерции полного круга, поделив её на 2. Это возможно, поскольку ось у проходит через центр полного круга, а полукруг является его половиной.
Таким образом, мы нашли главные центральные моменты инерции заданного сложного сечения:
, 
Задача решена. 
