Распадающиеся квадратичные формы

Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм.

Теорема 70. Квадратичная форма над полем комплексных чисел распадается тогда и только тогда, когда её ранг меньше или равен двум. Квадратичная форма над полем действительных чисел распадается тогда и только тогда, когда либо её ранг не больше единицы, либо её ранг равен двум, а положительный индекс инерции равен единице.

Доказательство. Если форма нулевая (её ранг равен нулю), то утверждение теоремы очевидно. Рассмотрим любую ненулевую форму j (а).

Þ Пусть квадратичная форма j распадающаяся. Тогда

j (а) = (a₁х₁ + a₂х₂ + … + a_nх_n)×(b₁х₁ + b₂х₂ + … + b_nх_n).

Возможны два случая:

1. a_к = lb_к для всех к = 1, 2, …, n. Тогда j (а) = l(a₁х₁ + a₂х₂ + … + a_nх_n)².

Сделав преобразование координат по формулам:

у₁ = a₁х₁ + a₂х₂ + … + a_nх_n, у₂ = х₂, …, у_n = х_n, получим j (а) = l у₁². Но это канонический вид данной формы. Следовательно, ранг формы равен 1.

2. Не все a_к равны соответствующим b_к.

Сделав преобразование координат по формулам:

у₁ = a₁х₁ + a₂х₂ + … + a_nх_n, у₂ = b₁х₁ + b₂х₂ + … + b_nх_n, у₃ = х₃, …, у_n = х_n, получим

j = у₁у₂.

Сделав ещё одно преобразование координат по формулам:

у₁ = z₁ – z₂, у₂ = z₁ + z₂, у₃ = z₃, …, z_n, получим j = z₁² – z₂². В случае поля действительных чисел это выражение является нормальным видом данной формы. Следовательно, ранг формы равен 2, а положительный индекс инерции равен 1. Если дана форма над полем комплексных чисел, то преобразование у₁ = z₁ –i z₂, у₂ = z₁ +i z₂, у₃ = z₃, …, z_n приводит форму к виду j = z₁² + z₂². Ранг этой формы равен 2.

Ü Если действительная или комплексная форма имеет ранг 1, то она приводится к нормальному виду j (а) = у₁². Из формул преобразования координат у₁=a₁х₁ + a₂х₂ +…+ a_nх_{n .} Но тогда j = (a₁х₁ + a₂х₂ + … + a_nх_n)², т.е. форма распадающаяся.

Если комплексная форма имеет ранг 2, то она приводится к виду

j = z₁² + z₂² = (z₁ – i z₂) × (z₁ +i z₂).

Подставив вместо z₁ и z₂ их выражения из формул преобразования координат, получим в исходных координатах j (а) = (a₁х₁ + a₂х₂ + … + a_nх_n)×(b₁х₁ + b₂х₂ + … + b_nх_n), т.е. форма распадающаяся.

Если действительная форма имеет ранг 2 и положительный индекс инерции 1, то она приводится к виду j = z₁² – z₂² = (z₁ – z₂)×(z₁ + z₂). Подставив вместо z₁ и z₂ их выражения, получим j (а) = (a₁х₁ + a₂х₂ + … + a_nх_n)×(b₁х₁ + b₂х₂ + … + b_nх_n), т.е. форма распадающаяся.

 

Пример. Будет ли распадающейся над полем действительных чисел квадратичная форма: j = 3 х₁² + 3 х₁х₂ – 2 х₁х₃ + 8 х₁х₄ – 2 х₂х₃ + 5 х₂х₄ – 2 х₃х₄ + 5 х₄².

Решение. Приведём форму к каноническому виду.

j = (36 х₁² + 36 х₁х₂ – 24 х₁х₃ + 96 х₁х₄ + 9 х₂² + 4 х₃² + 64 х₄² – 12 х₂х₃ + 48 х₂х₄ – 32 х₃х₄) – х₂² –

– х₃² – х₄² + х₂х₃ – 4 х₂х₄ + х₃х₄ – 2 х₂х₃ + 5 х₂х₄ – 2 х₃х₄ + 5 х₄² = (6 х₁ + 3 х₂ – 2 х₃ + 8 х₄)² –

– ( х₂² + 3 х₂х₃ – 3 х₂х₄ + х₃² + х₄² – 2 х₃х₄) + х₃² + х₄² – х₃х₄ – х₃² – х₄² + х₃х₄ –

– 2 х₃х₄ + 5 х₄² = (6 х₁ + 3 х₂ – 2 х₃ + 8 х₄)² – ( х₂ + х₃ – х₄)². Отсюда видно, что ранг данной формы равен 2, а положительный индекс инерции равен 1, следовательно, форма распадается. Действительно,

j = (3 х₁ + х₂ – х₃ + 4 х₄ + х₂ + х₃ – х₄)×(3 х₁ + х₂ – х₃ + 4 х₄ – х₂ – х₃ + х₄).

Отсюда j = (х₁ + х₂ + х₄)×(3 х₁ – 2 х₃ + 5 х₄).

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К КОЛЛОКВИУМУ «Определители. Матрицы. Линейные пространства»

 

1. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.

2. Определители 2-го и 3-го порядка.

3. Перестановки: определение, свойства.

4. Подстановки: определение, свойства.

5. Определители n -го порядка: определение, свойства, в которых говорится о равенстве определителя нулю.

6. Определители n -го порядка: определение, свойства, в которых говорится, что определитель не изменится.

7. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителя, в котором все элементы одной строки, кроме одного, равны нулю.

8. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Сумма произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения элементов другой строки.

9. Теоремы Лапласа и Крамера.

10. Матрицы. Сложение матриц: определение, свойства.

11. Умножение матрицы на элемент поля Р: определение, свойства.

12. Умножение квадратных матриц. Определитель произведения двух матриц.

13. Обратная матрица.

14. Решение матричных уравнений.

15. Определение и примеры линейных пространств.

16. Арифметическое линейное пространство.

17. Линейно зависимые системы векторов: определение, свойства.

18. Линейно независимые системы векторов: определение, свойства.

19. Максимальная линейно независимая система векторов данного линейного пространства: определение, свойства. Максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов. Ранг системы векторов.

20. Базис линейного пространства: определение, примеры, свойства, размерность линейного пространства.

21. Координаты вектора в данном базисе: определение, свойства.

22. Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах.

23. Подпространства линейных пространств: определение, свойства, примеры. Линейная оболочка системы векторов.

24. Сумма и пересечение линейных подпространств. Теорема о размерности суммы двух конечномерных линейных подпространств. Прямая сумма.

25. Изоморфизм линейных пространств.

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

 

1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскости; модуль и аргумент комплексного числа; тригонометрическая форма комплексного числа; умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме.

2. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.

3. Перестановки и подстановки: определение, свойства, чётные и нечётные перестановки и подстановки, умножение подстановок.

4. Определители n -го порядка: определение, свойства; дополнительные миноры и алгебраические дополнения; вычисление определителя, в котором все элементы одной строки, кроме одного, равны нулю. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Сумма произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения элементов другой строки. Теоремы Лапласа и Крамера.

5. Матрицы. Сложение матриц: определение, свойства.

6. Умножение матрицы на элемент поля Р: определение, свойства.

7. Умножение квадратных матриц. Определитель произведения двух матриц.

8. Обратная матрица: определение, свойства, способ вычисления.

9. Решение матричных уравнений.

10. Линейные пространства: определение, примеры. Арифметическое линейное пространство. Доказать, что множество матриц одной и той же размерности с элементами из поля Р есть линейное пространство.

11. Линейно зависимые и независимые системы векторов: определение, свойства, примеры.

12. Максимальная линейно независимая система векторов данного линейного пространства: определение, свойства. Максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов. Ранг системы векторов.

13. Базис линейного пространства: определение, примеры, свойства, размерность линейного пространства. Размерности арифметического линейного пространства, пространства матриц и пространства многочленов R [ х ].

14. Координаты вектора в данном базисе: определение, свойства. Действия с векторами в координатах. Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах.

15. Подпространства линейных пространств: определение, свойства, примеры. Линейная оболочка системы векторов.

16. Сумма и пересечение линейных подпространств. Теорема о размерности суммы двух конечномерных линейных подпространств. Прямая сумма.

17. Изоморфизм линейных пространств: определение, свойства, примеры.

18. Столбцовый и строчный ранги матрицы: определение, теорема о столбцовом ранге матрицы, ранг матрицы, практическое правило вычисления ранга матрицы.

19. Теорема Кронекера-Капелли о системе линейных уравнений. Практическое правило решения системы линейных уравнений, общее и частное решения.

20. Пространство решений системы линейных однородных уравнений, фундаментальная система решений (ФСР), выражение общего решения через ФСР.

21. Связь решений системы линейных неоднородных уравнений и соответствующей системы линейных однородных уравнений.

22. Задание подпространств конечномерного линейного пространства с помощью систем линейных уравнений.

23. Линейные операторы: определение, примеры, свойства, сумма линейных операторов, умножение линейного оператора на элемент основного поля.

24. Матрица линейного оператора в данной паре базисов. Соответствие между всеми линейными операторами j: L_n ® L_m и всеми матрицами порядка n´m с элементами из основного поля.

25. Теорема о задании линейного оператора j: L_n ® L_m базисом из L_n и упорядоченным набором n векторов из L_m .

26. Связь между координатами вектора и его образа при линейном операторе. Связь между матрицами линейного оператора в разных парах базисов.

27. Область значений и ядро линейного оператора: определение, свойства, примеры.

28. Линейные преобразования линейного пространства: определение, примеры, свойства.

29. Сумма линейных преобразований, умножение линейного преобразования на элемент поля Р. Линейное пространство, сопряжённое данному линейному пространству.

30. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования: определение, примеры, свойства.

31. Характеристический многочлен, характеристические корни и собственные значения квадратной матрицы.

32. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.

33. Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром.

34. Скалярное произведение векторов, его свойства. Определение и примеры евклидовых и унитарных пространств.

35. Матрица Грама в евклидовом пространстве: определение, свойства, формула для вычисления скалярного произведения.

36. Длина вектора, угол между векторами, ортогональность векторов в евклидовом пространстве: определение, примеры, свойства.

37. Ортогональные дополнения вектора и евклидова подпространства: определение, свойства, примеры.

38. Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве: определение, свойства, примеры. Теорема о том, что любой базис в конечномерном евклидовом пространстве можно ортонормировать. Скалярное произведение векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе.

39. Изоморфизм евклидовых пространств: определение, свойства, примеры.

40. Ортогональное линейное преобразование: определение, примеры, свойства. Ортогональная матрица.

41. Сопряжённые линейные преобразования: определение, свойства, примеры. Доказать, что для всякого линейного преобразования пространства Е_n существует сопряжённое.

42. Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования: определение, примеры, свойства. Симметрические матрицы, их свойства.

43. Билинейные формы.

44. Квадратичные формы: определение, примеры. Матрица квадратичной формы. Матричная запись квадратичной формы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому и нормальному виду над полем R (над полем С).

45. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов.

46. Ранг, положительный индекс инерции, дефект действительной и комплексной квадратичных форм. Закон инерции квадратичной формы.

47. Положительно определённые квадратичные формы: определение; необходимое и достаточное условие, при котором форма является положительно определённой; примеры.

48. Распадающиеся квадратичные формы: определение; необходимые и достаточные условия, при которых форма является распадающейся над полем R (над полем С).

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974 (и все последующие издания).

2. Половицкий Я.Д. Алгебра. Части 1 и 2. – Пермь: ПГУ, 2010.

3. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные задачи. – М: Финансы и статистика, 2003.

4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Физматгиз, 1959 (и все последующие издания).

5. Шевцов Г.С. Линейная алгебра. – Пермь, ПГУ, 1996.

6. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука, 1984 (и все последующие издания)

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1. Беклемышев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Физматгиз, 2000.

2. Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств. М.: Наука, 1984.

 

МЕТОДИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1. Линейная алгебра. Лабораторные работы 1 – 7 и 8 – 13. – Пермь: ПГУ, 2006.

2. Методические указания к лабораторным работам по алгебре и геометрии. – Пермь: ПГУ, 1984.