Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования

Определение 56. Линейное преобразование называется самосопряжённым, если оно совпадает со своим сопряжённым преобразованием (j - самосопряжённое Û j = j*).

Из формулы (52) следует, что линейное преобразование j евклидова пространства будет самосопряжённым тогда и только тогда, когда (а, j (в)) = (j (а), в) (55).

Пусть в Е_n зафиксирован базис е = (е₁, е₂,..., е_n), Г – матрица Грама и А – матрица самосопряжённого преобразования j. В этом случае А* = А и формула (53) будет иметь вид: А = Г^– ¹× А ^Т× Г. Если базис ортонормированный, то А = А ^Т, т.е. матрица А – симметрическая. Итак, верна

Теорема 56. Линейное преобразование является самосопряжённым тогда и только тогда, когда в ортонормированном базисе оно задаётся симметрической матрицей.

Теорема 56 объясняет тот факт, что самосопряжённое преобразование называют также симметрическим.

Отметим некоторые свойства симметрических преобразований.

1⁰. Тождественное преобразование является симметрическим.

Действительно, тождественное преобразование в любом базисе задается единичной матрицей. Но единичная матрица – симметрическая.

2⁰. Сумма симметрических преобразований есть преобразование симметрическое.

Это утверждение следует из того, что сумма двух симметрических матриц есть матрица симметрическая.

3⁰. Произведение симметрического преобразования на действительное число есть симметрическое преобразование.

Действительно, если симметрическую матрицу умножить на действительное число, то получится симметрическая матрица.

4⁰. Если симметрическое преобразование j имеет обратное преобразование j^– ¹, то j^– ¹ – симметрическое преобразование.

Это свойство тоже следует из свойств симметрических матриц.

5⁰. Если линейные преобразования j и y евклидова пространства симметрические, то их произведение будет симметрическим преобразованием тогда и только тогда, когда они перестановочны, т.е. j×y = y×j.

Действительно, для симметрических преобразований j и y имеем (j×y)* = y*×j* = yj.

j×y будет симметрическим тогда и только тогда (по определению), когда (j×y)* = j×y. отсюда следует, что j×y будет симметрическим тогда и только тогда, когда j×y = yj.

6⁰. Пусть j симметрическое преобразование евклидова пространства Е. Если Н – инвариантное подпространство преобразования j, то и ортогональное дополнение Н^{^} является инвариантным подпространством преобразования j.

Это свойство следует из соответствующего свойства преобразования j*.

Теорема 57. Все корни характеристического многочлена симметрического преобразования действительные.

Доказательство. Пусть в пространстве Е_n зафиксирован ортонормированный базис е, пусть j симметрическое преобразование и А – его матрица в базисе е. Матрица А – симметрическая. Пусть l₀ – произвольный корень характеристического многочлена | А – lЕ |. Однородная система уравнений (А –l₀Е)× х = 0 имеет ненулевые решения, ибо определитель её равен нулю. Эти решения могут быть и комплексные. Пусть х = (х₁, х₂, …, х_n)^Т – одно из таких решений. Тогда Ах = l₀х. Умножим обе части этого матичного уравнения на строку ^Т, получим ^Т× А×х =l₀× ^Т ×х (*). Вычисляя ^Т ×х, получим ^Т ×х = . Отсюда следует, что ^Т ×х действительное число, не равное нулю. Покажем, что, если матрица А симметрическая, то число ^Т× А×х тоже действительное. Число ^Т× А×х можно рассматривать как квадратную матрицу первого порядка. Такая матрица не меняется при транспонировании, т.е. ^Т× А×х = ( ^Т× А×х)^Т = х ^Т× А ^Т× = х ^Т× А × . Кроме того . В двух последних равенствах правые части одинаковы, следовательно, равны и левые части, т.е. ^Т× А×х = . Следовательно, число ^Т× А×х действительное. Из равенства (*) следует, что l₀ – действительное число.

Следствие 1. Все характеристические корни симметрической матрицы А являются действительными.

Следствие 2. Симметрическое преобразование евклидова пространства имеет собственные векторы.

Теорема 58. Собственные векторы симметрического преобразования, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть j – симметрическое преобразование евклидова пространства Е_n, l₁, l₂, = его собственные значения и l₁ ¹ l₂. Пусть а и в – собственные векторы, принадлежащие собственным значениям l₁ и l₂ соответственно. Тогда j (а) = l₁ а, j (в) = l₂ в. По определению симметрического преобразования (а, j (в)) = (j (а), в). Отсюда (а, l₂ в) = (l₁ а, в), l₂ (а, в) = l₁ (а, в), (l₁ – l₂)×(а, в) = 0. Так как l₁ ¹ l₂, то (а, в) = 0. Так как собственные векторы не нулевые, то а ^ в.

Теорема 59. Линейное преобразование j: Е_n ® Е_n является симметрическим тогда и только тогда, когда в Е_n существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов преобразования j.

Доказательство. Ü Пусть е = (е₁, е₂,..., е_n) – ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов преобразования j. В этом случае j (е_к) = l_к для любого к = 1, 2, …, n. Следовательно, в данном базисе преобразование j имеет диагональную, а поэтому и симметрическую матрицу, т.е. j – симметрическое преобразование.

Þ Пусть линейное преобразование j: Е_n ® Е_n симметрическое. Доказательство проведём методом математической индукции. При n = 1 каждый вектор отображается на пропорциональный ему вектор, т.е каждый вектор является собственным. Поэтому есть базис из собственных векторов.

Предположим, что утверждение теоремы верно для евклидова пространства размерности (n – 1). Пусть Е_n – евклидово пространство размерности n. По следствию 2 теоремы 54 j имеет собственные векторы. Пусть е₁ – собственный вектор, принадлежащий собственному значению l₁. Можно считать, что этот вектор единичный, иначе его можно нормировать. Пусть Е₁ = < е₁ >. Очевидно, j (Е₁) = Е₁. Ортогональное дополнение Е₁ ^Т тоже будет инвариантным относительно j. Так как dim Е₁ ^Т = n – 1, то в Е₁ ^Т существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов преобразования j. Пусть это (е₂,..., е_n). Но тогда (е₁, е₂,..., е_n) – ортонормированный базис из собственных векторов в пространстве Е_n.

Из доказанной теоремы вытекает следующее утверждение.

Теорема 60. Любая симметрическая матрица А приводится к диагональному виду с помощью ортогональной матрицы.

Доказательство. Пусть А – симметрическая матрица. Её можно рассматривать как матрицу некоторого симметрического преобразования j в ортонормированном базисе е = (е₁, е₂,..., е_n) пространства Е_n. По теореме 56 в Е_n существует ортонормированный базис е¹ = (е₁¹, е₂¹,..., е_n¹), состоящий из собственных векторов преобразования j. Если А¹ – матрица j в базисе е¹, то А¹ – диагональная. Пусть Т – матрица перехода от базиса е к базису е¹. Тогда Т – ортогональная и А¹ = Т^– ¹× А × Т.

Пример. Привести к диагональному виду матрицу

А =

Решение. Характеристический многочлен матрицы А

= (l – 1)³×(l + 3)

имеет корни l₁ = l₂ = l₃ = 1, l₄ = – 3. Все они являются собственными значениями матрицы А. Найдём соответствующие собственные векторы.

При l = 1 получаем систему уравнений

Ранг этой системы равен 1, поэтому фундаментальная системы состоит из 3-х решений, например, а₁ = (1, 1, 0, 0), а₂ = (1, 0, 1, 0), а₃ = (–1, 0, 0, 1). Полученную систему векторов нужно ортонормировать. Для этого нужно задать матрицу Грама. Так как скалярное произведение любое, то зададим Г = Е. Тогда получим

следующую ортонормированную систему:

е₁¹ = е₂¹ = , е₃¹ = .

При l = –3 получаем систему уравнений

Ранг этой системы равен 3, поэтому фундаментальная системы состоит из 1-го решения, например, а₄ = (1, –1, –1, 1). Нормируя его, получим е₄¹ =

(1, –1, –1, 1). Система векторов е₁¹, е₂¹, е₃¹, е₄¹ – ортонормированный базис из

собственных векторов. Матрица перехода от исходного базиса к базису е¹ будет

Т = .

Т^– ¹ = .

А = ТА¹Т^– ¹ = × × .

Теорема 62. Для любого линейного преобразования j: Е_n ® Е_n преобразования j*j и jj* являются неотрицательными, т.е. эти преобразования симметрические, а все их собственные значения – неотрицательные числа.

Доказательство. (j*j)* = j* (j*) * = j*j. Следовательно, j*j – симметрическое преобразование.Пусть l – собственное значение преобразования j*j и а – соответствующий собственный вектор. Тогда ((j*j)(а), а) = (j* (j (а), а) = (j (а), j (а)) = =½ j (а)½². С другой стороны, ((j*j)(а), а) = (l а, а) = l ½ а ½². Следовательно, ½ j (а)½² = l ½ а ½². Так как а ¹ 0, то l ³ 0. Для преобразования jj* рассуждения аналогичны.

Определение 57. Симметрическое линейное преобразование называется положительно определённым, если для любого ненулевого вектора а выполняется неравенство (а, j (а)) > 0.

Теорема 61. Симметрическое преобразование является положительно определённым тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительные.

Доказательство. Þ Пусть симметрическое преобразование j является положительно определённым. Тогда (а, j (а)) > 0 для любого вектора, в частности для любого собственного вектора. Но если а – собственный вектор, то j (а) = l а. Следовательно, 0 < (а, l а) = l (а, а). Так как для ненулевого вектора (а, а) > 0, то l > 0.

Ü Пусть все собственные значения симметрического преобразования j положительные. Выберем в пространстве Е_n базис е = (е₁, е₂,..., е_n), состоящий из собственных векторов этого преобразования. Если а = х₁ е₁ + х₂ е₂ + … + х_n е_n, то (а, j (а)) = ( = . Если а ¹ 0, то (а, j (а)) > 0, т.е. преобразование j положительно определённое.

Замечание. Симметрическое линейное преобразование называется неотрицательным, если для любого ненулевого вектора а выполняется неравенство (а, j (а)) ³ 0.

Симметрическое линейное преобразование называется отрицательно определённым, если для любого ненулевого вектора а выполняется неравенство (а, j (а)) < 0любого вектора а получим (а, j*j (а)) = (j (а), j (а)) ³ 0. Следовательно, преобразование j*j неотрицательное.