Лекции.Орг


Поиск:




IX. Билинейные и квадратичные формы




 

Линейные формы

Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и f –линейное отображение пространства Ln в поле Р (f: Ln ® Р).

Определение 58. Линейное отображение f: Ln ® Р называется линейной функцией или линейной формой, заданной на Ln.

Если е = (е1, е2,..., еn) – базис в Ln, а – любой вектор из Ln, то а = х1 е1 + х2 е2 + … + хn еn, где х1, х2, …, хn – любые элементы поля Р. Если f (ек) = aк, то f (а) = a1х1 + a2х2+ … + anхn.

Следовательно, любую линейную форму можно задать в виде a1х1 + a2х2+ … + anхn.

Легко показать, что множество всех линейных форм f: Ln ® Р является линейным пространством над полем Р.

 

Билинейные формы

Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р.

Определение 59. Отображение f: (Ln ´ Ln) ® Р называется билинейной формой (или билинейной функцией), заданной на Ln, если для любых векторов а, в, с и любого элемента a Î Р выполняются условия:

f (а + в, с) = f (а, с) + f (в, с); f (а, в + с) = f (а, в) + f (а, с); f (а) = f (а).

(Иными словами, билинейная форма линейна по обоим переменным.)

Пусть в Ln зафиксирован базис е = (е1, е2,..., еn), а = х1 е1 + х2 е2 + … + хn еn,

в = у1 е1 + у2 е2 + … + уn еn, f (ек, ер) = aкр. Тогда из определения 58 следует

f (а, в) = f () = = , где aкр – элементы поля Р.

Итак, f (а, в) = (55) – запись билинейной формы в координатах.

Матрица А = называется матрицей данной билинейной формы. Если х и у – столбцы координат векторов а и в, то билинейную форму можно записать в матричном виде: f (а, в) = х Т× А × у (56)

Если е1 = (е11, е21,..., еn1) – другой базис в Ln и Т – матрица перехода от базиса е к базису е1, то столбцы координат векторов а и в в этих базисах связаны формулами х = Т×х1, у =Т×у1. Подставив в формулу (56), получим f (а, в) = (Тх1) Т × А × (Ту1) = (х1)Т×(Т Т× А × Ту1. Следовательно, матрицы билинейной формы в разных базисах связаны формулой

А1 = Т Т× А × Т (57)

Определение 60. Билинейная форма называется симметрической, если

f (а, в) = f (в, а) для любых векторов а и в. (57)

Очевидно, верно следующее утверждение:

Теорема 62. Билинейная форма является симметрической тогда и только тогда, когда она в любом базисе имеет симметрическую матрицу.

Теорема 63. В любом базисе евклидова пространства Еn скалярное произведение векторов задаётся симметрической билинейной формой.

Доказательство. По формуле (42) скалярное произведение векторов а и в равно

(а, в) = х Т×Г × у. Матрица Г – симметрическая, поэтому, согласно формуле (56), скалярное произведение задано симметрической билинейной формой.

Квадратичные формы

Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана симметрическая билинейная форма f (а, в).

Определение 61. Симметрическая билинейная форма f (а, в) при условии а = в называется квадратичной формой, заданной на Ln (j (а) = f (а, в)). При этом f (а, в) и j (а) называются соответствующими друг другу.

Если в пространстве Ln задан базис е = (е1, е2, …, еn) и а = х1 е1 + х2 е2 + … + хn еn, то, используя формулу (55), получим запись квадратичной формы в координатах

j (а) = (59)

Матрица квадратичной формы совпадает с матрицей соответствующей симметрической билинейной формы. Квадратичная форма в матричном виде запишется

j (а) = х Т× А × х (60)

Если в пространстве Ln зафиксирован базис, то между всеми квадратичными формами, заданными на Ln и всеми симметрическими квадратными матрицами порядка n устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Сумма двух квадратичных форм является квадратичной формой. При умножении квадратичной формы на элемент поля Р получается тоже квадратичная форма. При сложении квадратичных форм складываются их матрицы. Если форма умножается на элемент поля Р, то на этот же элемент умножается и её матрица. Следовательно, множество всех квадратичных форм, заданных на Ln, есть линейное пространство, изоморфное линейному пространству квадратных симметрических матриц порядка n. Размерность этого пространства равна .

Так как квадратичная форма и соответствующая симметрическая билинейная форма имеют одну и ту же матрицу, то связь матриц А и А1 в разных базисах задаётся формулой (56), т.е. А1 = Т Т× А × Т, где Т – матрица перехода от первого базиса ко второму, Т Т – матрица, транспонированная для матрицы Т. Следовательно, в разных базисах квадратичная форма имеет более или менее сложные матрицы, а поэтому более или менее сложную запись в координатах. Поэтому возникает задача: найти в пространстве Ln такой базис, в котором квадратичная форма имела бы наиболее простой вид.

Определение 62. Если j (а) = a1 х12 + a2 х 22 + … + an х n2, то говорят, что квадратичная форма j (а) имеет канонический вид.

Если поле Р есть поле рациональных или действительных чисел и

j (а) = х12 + х22 + … + хк2хк+12 – … – хr2,

то говорят, что квадратичная форма имеет нормальный вид. В случае, когда Р = Снормальным видом квадратичной формы называют j (а) = х12 + х22 + …+ хк2 + хк+12 +.+ хr2.

Теорема 64. Всякая квадратичная форма с помощью линейного невырожденного преобразования (преобразования координат) может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство. Пусть j (а) – квадратичная форма, заданная на пространстве Ln. Пусть в Ln задан базис е и пусть в этом базисе j (а) = х Т× А × х. Матрица А –симметрическая, поэтому по теореме 60 существует такая ортогональная матрица Т, что матрица А1 = Т 1× А × Т будет диагональной, причём на диагонали стоят собственные значения матрицы А (они все – действительные числа). Так как ортогональная матрица невырожденная, то существует такой базис е1, что Т будет матрицей перехода от базиса е к базису е1. Так как для ортогональной матрицы Т –1 = Т Т, то А1 – матрица данной формы в базисе е1. Итак, в базисе е1 данная форма имеет канонический вид.

Замечание. Приведение симметрической матрицы к диагональному виду описано в примере пункта 8.3.

Теорема 65. Всякую квадратичную форму линейным невырожденным преобразованием можно привести к нормальному виду.

Доказательство. В теореме 64 доказано, что квадратичную форму можно привести к каноническому виду. Перенумеровав, если нужно переменные, будем считать, что первые r коэффициентов в каноническом виде отличны от нуля, а остальные (n – r) равны нулю.

1) В случае, когда Р = С сделаем преобразование координат по формулам (*).

(*) Так как определитель этих формул отличен от нуля, то они задают преобразование координат. В новых координатах j (а) = у12 + у22 + … + уr2. Получили комплексный нормальный вид квадратичной формы. 2) Если Р = R, т.е. j (а) – действительная квадратичная форма, то в каноническом виде запишем сначала члены с положительными коэффициентами, затем – с отрицательными и, наконец, с нулевыми.
(**) j (а) = a1 х12 + a2 х 22 + … + aк х к2 – aк+1 хк+12 – … – ar хr2 Сделаем преобразование координат по формулам (**), получим j (а) = у12 + у22 + … + ук2ук+12 – … – уr2. Но это и есть нормальный вид действительной квадратичной формы.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

j = 2 х1х2 + 2 х1х3 – 2 х1х4 – 2 х2х3 + 2 х2х4 + 2 х3х4.

Решение. Матрица данной квадратичной формы

А = Для решения задачи эту матрицу нужно привести к диагональному виду. Это было сделано в примере пункта 8.3. Собственные значения этой матрицы l1 = l2 = l3 = 1, l4 = – 3. Базис из собственных векторов был найден е11 = е21 = ,
А1 = е31 = , е41 = (1, –1, –1, 1). В этом базисе квадратичная форма будет иметь матрицу А1. Матрицей перехода от исходного базиса к базису е1 будет матрица Т.
Т = Следовательно, форма j будет иметь следующий канонический вид j = х12 + х22 + х32 – 3 х42.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-11-12; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1091 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Наглость – это ругаться с преподавателем по поводу четверки, хотя перед экзаменом уверен, что не знаешь даже на два. © Неизвестно
==> читать все изречения...

1102 - | 864 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.012 с.